Question

如圖，已知ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，對(duì)角線AC和BD相交于E，BC=CD=4，AE=6，如果線段BE和DE的長(zhǎng)都是整數(shù)，則BD的長(zhǎng)等于

 

．

Answer 1

分析：已知了BC=CD，可得出弧BC=弧CD，根據(jù)圓周角定理可得出∠BAC=∠CBD；易證得△CBE∽△CAB，根據(jù)所得的關(guān)于AC、CE、BC的比例關(guān)系式可求出EC的長(zhǎng)；
根據(jù)相交弦定理得AE•EC=BE•ED，又已知BE、DE的長(zhǎng)是整數(shù)，可求出BE、DE的取值情況；然后在△BCD中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系定理將不合題意的解舍去．

解答：解：∵BC=CD=4，
∴

BC

=

CD

；
∴∠CBE=∠CDB=∠CAB；
又∵∠BCE=∠ACB，
∴△CBE∽△CAB，得

BC

AC

=

EC

BC

，即

4

6+EC

=

EC

4

；
化簡(jiǎn)得：EC²+6EC-16=0，解得：EC=2（負(fù)值舍去）．
由相交弦定理，得：BE•ED=AE•EC，
∴BE•ED=2×6=12；
則BE和DE可取的值分別為3，4；2，6；1，12；
又因?yàn)锽C=CD=4，所以BD＜BC+CD=4+4=8．
故為BD=3+4=7．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道開放題，先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和相交弦定理估算出BE、ED，再根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊將不合題意的解舍去，綜合性較強(qiáng)，難度較大．