Question

設(shè)，是任意兩個(gè)不等實(shí)數(shù)，我們規(guī)定：滿足不等式≤≤的實(shí)數(shù)的所有取值的全體叫做閉區(qū)間，表示為. 對(duì)于一個(gè)函數(shù)，如果它的自變量與函數(shù)值滿足：當(dāng)m≤≤n時(shí)，有m≤≤n，我們就稱此函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”.
（1）反比例函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”嗎？請(qǐng)判斷并說明理由；
（2）若一次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，求此函數(shù)的表達(dá)式；
（3）若二次函數(shù)是閉區(qū)間上的“閉函數(shù)”，直接寫出實(shí)數(shù)， 的值.

Answer 1

（1）是，理由見解析；（2）y=x或；（3）或.

試題分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行判斷.
（2）根據(jù)新定義運(yùn)算法則列出關(guān)于系數(shù)k、b的方程組或，通過解該方程組即可求得系數(shù)k、b的值.
（3）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/201408230333132151128.png" style="vertical-align:middle;" />，所以該二次函數(shù)的圖象開口方向向上，最小值是，且當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減小；當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大；根據(jù)新定義運(yùn)算法則分三種情況列出關(guān)于系數(shù)a、b的方程組，解方程組即可求得a、b的值.　
（1）反比例函數(shù)是閉區(qū)間[1，2014]上的“閉函數(shù)”. 理由如下：
∵反比例函數(shù)在第一象限，y隨x的增大而減小，且
當(dāng)x=1時(shí)，y=2014；當(dāng)x=2014時(shí)，y=1，
∴當(dāng)1≤x≤2014時(shí)，有1≤y≤2014，符合閉函數(shù)的定義，故反比例函數(shù)是閉區(qū)間[1，2014]上的“閉函數(shù)”.
（2）分兩種情況：k＞0或k＜0．
①當(dāng)k＞0時(shí)，一次函數(shù)的圖象是y隨x的增大而增大，根據(jù)“閉函數(shù)”的定義得，
，解得.
∴此函數(shù)的解析式是y=x.
②當(dāng)k＜0時(shí)，一次函數(shù)的圖象是y隨x的增大而減小，根據(jù)“閉函數(shù)”的定義得，
，解得.
∴此函數(shù)的解析式是.
（3）∵，
∴該二次函數(shù)的圖象開口方向向上，最小值是，且當(dāng)x＜2時(shí)，y隨x的增大而減��；當(dāng)x＞2時(shí)，y隨x的增大而增大.
①當(dāng)b≤2時(shí)，此二次函數(shù)y隨x的增大而減小，則根據(jù)“閉函數(shù)”的定義得，
，解得，（不合題意，舍去）或.
②當(dāng)a＜2＜b時(shí)，此時(shí)二次函數(shù)的最小值是=a，根據(jù)“閉函數(shù)”的定義得
或.
a）當(dāng)時(shí)，由于，不合題意，舍去；
b）當(dāng)時(shí)，解得，
∵b＞2，∴.
③當(dāng)a≥2時(shí)，此二次函數(shù)y隨x的增大而增大，則根據(jù)“閉函數(shù)”的定義得，
，解得，.
∵＜0，∴舍去.
綜上所述，或.