Question

如圖，已知反比例函數(shù)y=

m

x

（x＞0）的圖象與一次函數(shù)y=-

1

2

x+

5

2

的圖象交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，

1

2

），連接AC，AC平行于y軸．
（1）求反比例函數(shù)的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）現(xiàn)有一個(gè)直角三角板，讓它的直角頂點(diǎn)P在反比例函數(shù)圖象上的A、B之間的部分滑動(dòng)（不與A、B重合），兩直角邊始終分別平行于x軸、y軸，且與線段AB交于M、N兩點(diǎn)，試判斷P點(diǎn)在滑動(dòng)過(guò)程中△PMN是否與△CAB總相似，簡(jiǎn)要說(shuō)明判斷理由．

Answer 1

（1）由C（1，

1

2

）得A（1，2），代入反比例函數(shù)y=

m

x

中，得m=2，
∴反比例函數(shù)解析式為：y=

2

x

(x＞0)，（2分）
解方程組

y=- 1 2 x+ 5 2 y= 2 x

，
由-

1

2

x+

5

2

=

2

x

化簡(jiǎn)得：x²-5x+4=0（x-4）（x-1）=0，
解得x₁=4，x₂=1，
∴B（4，

1

2

）；（5分）

（2）無(wú)論P(yáng)點(diǎn)在AB之間怎樣滑動(dòng)，△PMN與△CAB總能相似．
∵B、C兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等，∴BC∥x軸，
∵AC∥y軸，∴△CAB為直角三角形，
同時(shí)△PMN也是直角三角形，AC∥PM，BC∥PN，∴△PMN∽△CAB．（8分）
（在理由中只要能說(shuō)出BC∥x軸，∠ACB=90°即可得分）