Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，CD上的點(diǎn)，AE=CF，連接EF，BF；EF與對角線AC交于點(diǎn)O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC，F(xiàn)C=2，則AB的長為 ．

Answer 1

【答案】6
【解析】解：如圖，連接BO，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴DC∥AB，∠DCB=90°
∴∠FCO=∠EAO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF，
∴OE=OF，OA=OC，
∵BF=BE，
∴BO⊥EF，∠BOF=90°，
∵∠FEB=2∠CAB=∠CAB+∠AOE，
∴∠EAO=∠EOA，
∴EA=EO=OF=FC=2，
在RT△BFO和RT△BFC中，
，
∴RT△BFO≌RT△BFC，
∴BO=BC，
在RT△ABC中，∵AO=OC，
∴BO=AO=OC=BC，
∴△BOC是等邊三角形，
∴∠BCO=60°，∠BAC=30°，
∴∠FEB=2∠CAB=60°，∵BE=BF，
∴△BEF是等邊三角形，
∴EB=EF=4，
∴AB=AE+EB=2+4=6．
所以答案是6．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等；相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)高、對應(yīng)中線、對應(yīng)角平分線、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方才能正確解答此題．