Question

【題目】如圖，在平行四邊形中，分別為邊的中點，是對角線，過點作交的延長線于點．

（1）求證：．

（2）若，

①求證：四邊形是菱形．

②當時，求四邊形的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①見解析；②6．

【解析】

（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AB∥CD，AB=CD，又由E、F分別為邊AB、CD的中點，易得DF∥BE，DF=BE，即可判定四邊形DEBF為平行四邊形，則可證得DE∥BF；
（2）①由∠G=90°，AG∥DB，易證得△DBC為直角三角形，又由F為邊CD的中點，即可得BF=DC=DF，則可證得：四邊形DEBF是菱形；
②根據(jù)矩形的判定定理得到四邊形AGBD是矩形，根據(jù)三角形的面積公式即可得到結(jié)論．

證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵E、F分別為AB、CD的中點，
∴DF=DC，BE=AB，
∴DF∥BE，DF=BE，
∴四邊形DEBF為平行四邊形，
∴DE∥BF；
（2）①∵AG∥BD，

∴∠G=∠DBC=90°，
∴△DBC為直角三角形，
又∵F為邊CD的中點．
∴BF=DC=DF，
又∵四邊形DEBF為平行四邊形，
∴四邊形DEBF是菱形；
②∵AD∥BG，AG∥BD，∠G=90°，
∴四邊形AGBD是矩形，
∴S△ABD=S△ABG=×3×4=6，
∵E為邊AB的中點，
∴S△BDE=S△ABD=3，
∴四邊形DEBF的面積=2S△BDE=6．