Question

【題目】如圖，已知圓O的直徑AB垂直于弦CD于點E，連接CO并延長交AD于點F，且CF⊥AD．

（1）證明：點E是OB的中點；

（2）若AB=8，求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）要證明：E是OB的中點，只要求證OE＝OB＝OC，即證明∠OCE＝30°即可；
（2）在直角△OCE中，根據(jù)勾股定理就可以解得CE的長，進而求出CD的長．

（1）證明：連接AC，如圖

∵直徑AB垂直于弦CD于點E，
∴，AC＝AD，
∵過圓心O的線CF⊥AD，
∴AF＝DF，即CF是AD的中垂線，
∴AC＝CD，
∴AC＝AD＝CD．
即：△ACD是等邊三角形，
∴∠FCD＝30°，
在Rt△COE中，OE＝OC，
∴OE＝OB，
∴點E為OB的中點；
（2）解：在Rt△OCE中，AB=8
∴OC＝AB＝4，
又∵BE＝OE，
∴OE＝2，
∴CE＝，
∴CD＝2CE＝．