Question

【題目】已知：梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥BC，AD=3，AB=6，DF⊥DC分別交射線AB、射線CB于點E、F.

（1）當點E為邊AB的中點時（如圖1），求BC的長；

（2）當點E在邊AB上時（如圖2），聯(lián)結(jié)CE，試問：∠DCE的大小是否確定？若確定，請求出∠DCE的正切值；若不確定，則設(shè)AE=x，∠DCE的正切值為y，請求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域；

（3）當△AEF的面積為3時，求△DCE的面積.

Answer 1

【答案】（1）9；（2）∠DCE的大小確定，.（3）當△AEF的面積為3時，△DCE的面積為25或73.

【解析】

（1）根據(jù)AD//BC和 E為AB中點，得出 AD＝ BF，DE＝ EF，再根據(jù)AD＝3，AB＝6，求出BF＝3，再求出DF的值，最后求出CF即可；

（2）作CH⊥AD交AD的延長線于點H，再得出△AED∽△HDC再根據(jù)AB⊥AD，CH⊥AD，AD//BC，得出CH ＝AB＝6，然后得出∠DCE的正切值；

（3）當點E在邊AB上，設(shè)AE＝x，根據(jù)△AEF的面積為3得出x的值，再求出DE,DC的值，然后可以得出△DCE的面積；當點E在邊AB延長線上，設(shè)AE＝y，根據(jù)△AEF的面積為3，得出，聯(lián)結(jié)CE，作CH⊥AD交AD的延長線于點H，得出DC,DE的值即可.

解：（1）∵AD//BC，∴.∵E為AB中點，∴AE＝BE. ∴AD＝ BF，DE＝ EF.

∵AD＝3，AB＝6，∴BF＝3，BE＝3. ∴BF＝BE.

∵AB⊥BC，∴∠F＝45°且EF＝.

∴DF＝2EF＝.

∵DF⊥DC，∠F＝45°，∴CF＝12.

∴BC＝ .

（2）∠DCE的大小確定，.

作CH⊥AD交AD的延長線于點H，∴∠HCD＋∠HDC＝90°.

∵DF⊥DC，∴∠ADE＋∠HDC＝90°. ∴∠HCD＝∠ADE.

又∵AB⊥AD，∴∠A＝∠CHD. ∴△AED∽△HDC.

∴.

∵AB⊥AD，CH⊥AD，AD//BC，∴CH ＝AB＝6.

∵AD＝3，CH＝6，∴.即.

（3）當點E在邊AB上，設(shè)AE＝x，

∵AD//BC，∴，即.∴.

∵△AEF的面積為3，∴.

∴.

∵AD＝3，AB⊥AD，∴DE＝5. ∵，∴DC＝10.

∵DF⊥DC，∴.

當點E在邊AB延長線上，設(shè)AE＝y，

∵AD//BC，∴，即.∴.

∵△AEF的面積為3，∴.∴.

∵AD＝3，AB⊥AD，∴DE＝.

聯(lián)結(jié)CE，作CH⊥AD交AD的延長線于點H，同（1）可得.

∴DC＝

∵DF⊥DC，∴.

綜上，當△AEF的面積為3時，△DCE的面積為25或73.