Question

如圖，已知y₁=k₁x+k₁（k₁≠0）與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A、C，其中A點(diǎn)坐標(biāo)（1，1）．
（1）求反比例函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)圖象寫出在第一象限內(nèi)，當(dāng)取何值時，y₁＜y₂？
（3）若一次函數(shù)y₁=k₁x+k₁與x軸交于B點(diǎn)，連接OA，求△AOB的面積：
（4）在（3）的條件下，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△AOP是等腰三角形？若存在，請寫出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）將A（1，1）代入反比例解析式得：1=，即k₂=1，
則反比例解析式為y₂=；
（2）由圖象可得：當(dāng)0＜x＜1時，y₁＜y₂；
（3）將A（1，1）代入一次函數(shù)解析式得：1=k₁+k₁，即k₁=，
∴一次函數(shù)解析式為y₁=x+，
令y=0，得x=-1，∴B（-1，0），即OB=1，
則S_△AOB=×OB×y_{A縱坐標(biāo)}=×1×1=；
（4）存在．
當(dāng)OA為底邊時，此時△AOP₁為等腰直角三角形，P₁（1，0）；
當(dāng)OA為腰時，以O(shè)為圓心，OA長為半徑畫弧，與x軸交于P₃，P₂，
∵A（1，1），
∴OA==，
∴OP₃=OP₂=，
此時P₂（，0），P₃（-，0）；
以A為圓心AO為半徑畫弧，與x軸交于P₄，
∵OA=AP₄，AP₁⊥OP₄，
∴OP₁=P₁P₄=1，
∴OP₄=2，此時P₄（2，0），
綜上，P的坐標(biāo)為（1，0）或（，0）或（-，0）或（2，0）．
分析：（1）將A的坐標(biāo)代入反比例解析式中求出k₂的值，即可確定出反比例解析式；
（2）由一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)，將x大于0分為兩個范圍，找出反比例函數(shù)在一次函數(shù)圖象上方時x的范圍即可；
（3）將A的坐標(biāo)代入一次函數(shù)解析式中，求出k₁的值，確定出一次函數(shù)解析式，令y=0求出x的值，確定出B的坐標(biāo)，得到OB的長，三角形AOB的面積由OB與A縱坐標(biāo)乘積的一半即可求出；
（4）存在．分AO為底邊和AO為腰兩種情況考慮：由A的坐標(biāo)，利用勾股定理求出OA的長，利用等腰三角形的性質(zhì)分別求出滿足題意的P點(diǎn)坐標(biāo)即可．
點(diǎn)評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，以及等腰三角形的性質(zhì)，利用了分類討論及數(shù)形結(jié)合的思想，靈活運(yùn)用待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．