Question

【題目】已知函數(shù)y= 的圖象如圖所示，點(diǎn)P是y軸負(fù)半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的垂線交圖象于A，B兩點(diǎn)，連接OA、OB．下列結(jié)論：
①若點(diǎn)M1（x1 ， y1），M2（x2 ， y2）在圖象上，且x1＜x2＜0，則y1＜y2；
②當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，﹣3）時(shí)，△AOB是等腰三角形；
③無(wú)論點(diǎn)P在什么位置，始終有S△AOB=7.5，AP=4BP；
④當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到使∠AOB=90°時(shí)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2 ，﹣ ）．
其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)為（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：①錯(cuò)誤．∵x1＜x2＜0，函數(shù)y隨x是增大而減小，∴y1＞y2 ， 故①錯(cuò)誤．
②正確．∵P（0，﹣3），
∴B（﹣1，﹣3），A（4，﹣3），
∴AB=5，OA= =5，
∴AB=AO，
∴△AOB是等腰三角形，故②正確．
③正確．設(shè)P（0，m），則B（ ，m），A（﹣ ，m），
∴PB=﹣ ，PA=﹣ ，
∴PA=4PB，
∵SAOB=S△OPB+S△OPA= + =7.5，故③正確．
④正確．設(shè)P（0，m），則B（ ，m），A（﹣ ，m），
∴PB=﹣ ，PA=﹣ ，OP=﹣m，
∵∠AOB=90°，∠OPB=∠OPA=90°，
∴∠BOP+∠AOP=90°，∠AOP+∠OPA=90°，
∴∠BOP=∠OAP，
∴△OPB∽△APO，
∴ = ，
∴OP2=PBPA，
∴m2=﹣ （﹣ ），
∴m4=36，
∵m＜0，
∴m=﹣ ，
∴A（2 ，﹣ ），故④正確．
∴②③④正確，
故選C．

【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用一次函數(shù)的性質(zhì)和等腰三角形的判定的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案，需要掌握一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小；如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（簡(jiǎn)稱：等角對(duì)等邊）．這個(gè)判定定理常用于證明同一個(gè)三角形中的邊相等．