Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，頂點為D，過點A的直線與拋物線交于點E，與y軸交于點F，且點B的坐標為（3，0），點E的坐標為（2，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點G為拋物線對稱軸上的一個動點，H為x軸上一點，當以點C、G、H、F四點所圍成的四邊形的周長最小時，求出這個最小值及點G、H的坐標；

（3）設直線AE與拋物線對稱軸的交點為P，M為直線AE上的任意一點，過點M作MN∥PD交拋物線于點N，以P、D、M、N為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，請求點M的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3；（2）G（1，1），H（，0），四邊形CFHG的周長最小值2+2；（3）M的坐標為：M（0，1）或（，）或（，）．

【解析】

(1)根據(jù)拋物線上的兩點列方程組求拋物線y=﹣x2+bx+c中的系數(shù)b和c，(2)根據(jù)題目的提示可以畫出簡圖，然后表示出以點C、G、H、F四點所圍成的四邊形的周長，在根據(jù)表示出的線段就可以求出最短的周長，對應的點G、H的坐標也可得出；（3）根據(jù)題意可以分兩種情況討論，點N在點M的上方或者下方，然后設出點M，根據(jù)題目給出的條件是否能將P、D、M、N為頂點的四邊形組成平行四邊形，可以根據(jù)平行四邊形對邊相等來入手.

（1）∵y=﹣x2+bx+c經過（3，0）和（2，3），

∴，

解得：，

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+2x+3；

（2）∵y=﹣x2+2x+3，

∴y=﹣（x﹣1）2+4，

∴對稱軸為x=1．

當y=0時，﹣x2+2x+3=0，

∴x1=﹣1，x2=3，

∴A（﹣1，0）．

當x=0時，y=3，

∴C（0，3）

∴CE=2．OC=3

如圖，在y軸的負半軸上取一點I，使得點F點I關于x軸對稱，在x軸上取點H，連接HF、HI、HG、GC、GE、則HF=HI．

∵拋物線的對稱軸為x=1，

∴點C點E關于對稱軸x=1對稱，

∴CG=EG．

設直線AE的解析式為y=kx+b，由題意，得

，

解得：，

∴直線AE的解析式為y=x+1．

當x=0時，y=1，

∴F（0，1），

∴OF=1，CF=2．

∵點F與點I關于x軸對稱，

∴I（0，﹣1），

∴OI=1，CI=4．

在Rt△CIE中，由勾股定理，得

EI==2．

∵要使四邊形CFHG的周長最小，而CF是定值，

∴只要使CG+GH+HF最小即可．

∵CG+GH+HF=EG+GH+HI，

∴只有當EI為一條直線時，EG+GH+HI最�。�

設EI的解析式為y=k1x+b1，由題意，得

，

解得：，

∴直線EI的解析式為：y=2x﹣1，

∵當x=1時，y=1，

∴G（1，1）．

∵當y=0時，x，

∴H（，0），

∴四邊形CFHG的周長最小值=CF+CG+GH=CF+EI=2+2；

（3）∵y=﹣x2+2x+3，

∴y=﹣（x﹣1）2+4，

∴D（1，4）

∴直線AE的解析式為y=x+1．

∴x=1時，y=2，

∴P（1，2），

∴PD=2．

∵四邊形DPMN是平行四邊形，

∴PD=MN=2．

∵點M在AE上，設M（x，x+1），

①當點M在線段AE上時，點N點M的上方，則N（x，x+3），

∵N點在拋物線上，

∴x+3=﹣x2+2x+3，

解得：x=0或x=1（舍去）

∴M（0，1）．

②當點M在線段AE或EA的延長線上時，點N在M的下方，則N（x，x﹣1）．

∵N點在拋物線上，

∴x﹣1=﹣x2+2x+3，

解得：x=或x=，

∴M（，）或（，）．

∴M的坐標為：M（0，1）或（，）或（，）．