Question

已知拋物線(xiàn)y₁=ax²+bx+c（a≠0，a≠c）過(guò)點(diǎn)A（1，0），頂點(diǎn)為B，且拋物線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第三象限．

（1）使用a、c表示b；

（2）判斷點(diǎn)B所在象限，并說(shuō)明理由；

（3）若直線(xiàn)y₂=2x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，且與該拋物線(xiàn)交于另一點(diǎn)C（），求當(dāng)x≥1時(shí)y₁的取值范圍．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【專(zhuān)題】壓軸題．

【分析】（1）拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)A（1，0），把點(diǎn)代入函數(shù)即可得到b=﹣a﹣c；

（2）判斷點(diǎn)在哪個(gè)象限，需要根據(jù)題意畫(huà)圖，由條件：圖象不經(jīng)過(guò)第三象限就可以推出開(kāi)口向上，a＞0，只需要知道拋物線(xiàn)與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)即可解決，判斷與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，一個(gè)可以考慮△，由△就可以判斷出與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以在第四象限；或者直接用公式法（或十字相乘法）算出，由兩個(gè)不同的解，進(jìn)而得出點(diǎn)B所在象限；

（3）當(dāng)x≥1時(shí)，y₁的取值范圍，只要把圖象畫(huà)出來(lái)就清晰了，難點(diǎn)在于要觀(guān)察出是拋物線(xiàn)與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)，理由是，由這里可以發(fā)現(xiàn)，b+8=0，b=﹣8，a+c=8，還可以發(fā)現(xiàn)C在A(yíng)的右側(cè)；可以確定直線(xiàn)經(jīng)過(guò)B、C兩點(diǎn)，看圖象可以得到，x≥1時(shí)，y₁大于等于最小值，此時(shí)算出二次函數(shù)最小值即可，即求出即可，已經(jīng)知道b=﹣8，a+c=8，算出a，c即可，即可得出y₁的取值范圍．

【解答】解：（1）∵拋物線(xiàn)y₁=ax²+bx+c（a≠0，a≠c），經(jīng)過(guò)A（1，0），

把點(diǎn)代入函數(shù)即可得到：b=﹣a﹣c；

（2）B在第四象限．

理由如下：

∵拋物線(xiàn)y₁=ax²+bx+c（a≠0，a≠c）過(guò)點(diǎn)A（1，0），

∵x₁•x₂=，

∴，

所以?huà)佄锞�(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

又∵拋物線(xiàn)不經(jīng)過(guò)第三象限，

∴a＞0，且頂點(diǎn)在第四象限；

（3）∵，且在拋物線(xiàn)上，

當(dāng)b+8=0時(shí)，解得b=﹣8，

∵a+c=﹣b，

∴a+c=8，

把B（﹣，）、C（，b+8）兩點(diǎn)代入直線(xiàn)解析式得：

，

解得：或（a≠c，舍去）

如圖所示，C在A(yíng)的右側(cè)，

∴當(dāng)x≥1時(shí)，．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及根與系數(shù)的關(guān)系和一次函數(shù)與二次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題等知識(shí)，根據(jù)數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵．