Question

如圖,把一個(gè)等腰直角三角板放置于矩形上，三角板的一個(gè)角的頂點(diǎn)放在處, 且直角邊在矩形內(nèi)部繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過程中與交于點(diǎn).
（1）如圖1，試問線段與的有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由；
（2）如圖1，是否存在為等腰三角形，若存在，求出的長，若不存在，說明理由.
繼續(xù)以下探索：
（3）如圖2，以為邊在矩形內(nèi)部作正方形，直角邊所在的直線交于，交于.設(shè)寫出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式.

Answer 1

（1）=；（2）或；（3）

試題分析：（1）連接AF，先根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AD=BC，∠D=90°，由AE=BC可得AE=AD，再由∠E=90°可得∠D =∠E，即可證得Rt△AEF≌Rt△ADF，從而得到結(jié)論；
（2）分三種情況：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)=13時(shí)，③當(dāng)時(shí)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求解即可；
（3）同（1）證OE=OI，再根據(jù)勾股定理求解即可.
（1）=.
連接AF

∵ABCD是矩形
AD=BC，∠D=90°
∵ AE=BC
AE=AD
∵∠E=90°
∠D =∠E
又∵AF=AF
Rt△AEF≌Rt△ADF（HL）
DF=EF；
（2）分三種情況：
①如圖1，當(dāng)時(shí)，過作于，于.


,



設(shè)


②如圖2，當(dāng)=13時(shí)，則



不可能出現(xiàn).
③如圖3，當(dāng)時(shí)

在的垂直平分線上.

,



；
（3）如圖4，同（1）證



 

點(diǎn)評：此類問題綜合性強(qiáng)，難度較大，在中考中比較常見，一般作為壓軸題，題目比較典型．