Question

【題目】如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P從原點(diǎn)O以每秒1個(gè)單位速度沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，作點(diǎn)P關(guān)于直線y=tx的對(duì)稱點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)Q作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)A．

（1）當(dāng)t=2時(shí)，求AO的長(zhǎng)．

（2）當(dāng)t=3時(shí)，求AQ的長(zhǎng)．

（3）在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，用含t的代數(shù)式表示線段AP的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3) .

【解析】

過(guò)P作PD⊥x軸，交直線y=tx于D，連接OQ，

（1）證△OPD∽△QAP，得，AP=2AQ，設(shè)AQ=a，

由勾股定理得：OQ2=AQ2+AO2，；

②設(shè)AQ=a，Rt△AQO中，由勾股定理得：OQ2=AQ2+AO2，；

（3）同理OP=t，PD=t2，△OPD∽△QAP，故，AP=tAQ，在Rt△AQO中，OQ=OP=t，由勾股定理得：OQ2=AQ2+AO2，．

解：過(guò)P作PD⊥x軸，交直線y=tx于D，連接OQ，

（1）當(dāng)t=2時(shí)，y=PD=2x=4，

∵∠BDP+∠DPB=∠DPB+∠APQ=90°，

∴∠BDP=∠APQ，

∴△OPD∽△QAP，

∴，

∴AP=2AQ，

設(shè)AQ=a，

Rt△AQO中，OQ=OP=2，

由勾股定理得：OQ2=AQ2+AO2，

∴，

5a2+4a﹣12=0，

a1=﹣2（舍），a2=，

∴AO=；

②當(dāng)t=3時(shí)，OP=3，PD=9，

設(shè)AQ=a，

Rt△AQO中，OQ=OP=3，

由勾股定理得：OQ2=AQ2+AO2，

，

5a2+3a﹣36=0，

（a+3）（5a﹣12）=0，

a1=﹣3（舍），a2=，

∴AQ=AP=（+3）=；

（3）同理OP=t，PD=t2，

∴△OPD∽△QAP，

∴，

∴AP=tAQ，

Rt△AQO中，OQ=OP=t，

由勾股定理得：OQ2=AQ2+AO2，

∴，

AP=．