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        1. 【題目】如圖1,已知ABC中,ABBC1,∠ABC90°,把一塊含30°角的直角三角板DEF的直角頂點(diǎn)D放在AC的中點(diǎn)上(直角三角板的短直角邊為DE,長(zhǎng)直角邊為DF),將直角三角板DEFD點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn).

          1)在圖1中,DE交邊ABM,DF交邊BCN,證明:DMDN;

          2)在這一旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,直角三角板DEFABC的重疊部分為四邊形DMBN,請(qǐng)說(shuō)明四邊形DMBN的面積是否發(fā)生變化?若發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明是如何變化的?若不發(fā)生變化,求出其面積;

          3)繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置,延長(zhǎng)ABDEM,延長(zhǎng)BCDFN,DMDN是否仍然成立?若成立,請(qǐng)給出證明;若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.

          【答案】1)詳情見解析;(2)四邊形DMBN面積不發(fā)生變化,面積為;(3)仍然成立,證明見解析.

          【解析】

          1)連接BD,求出BD=DC,∠MDB=CDN,∠C=ABD,根據(jù)ASA證明MBDNCD,進(jìn)而求證即可;

          2)根據(jù)全等得出MBDNCD面積相等,求出四邊形DMBN的面積等于BDC的面積,進(jìn)而求解即可;

          3)連接BD,求出BD=DC,∠MDB=CDN,∠C=ABD,根據(jù)ASA證明MBDNCD,進(jìn)而求證即可.

          (1)如圖1,連接BD.

          ∵在RtABC中,AB=BCAD=DC,

          BD=DC=AD,∠BDC=90°,

          ∴∠ABD=C=45°

          ∵∠MDB+BDN=90°,∠CDN+BDN=90°

          ∴∠MDB=NDC

          MBDNCD中,

          ∵∠MDB=NDC,BD=DC,∠MBD=C,

          MBDNCD,

          DM=DN.

          (2)四邊形DMBN面積不發(fā)生變化.

          由(1)得MBDNCD,

          SMBD=SNCD

          ∴四邊形DMBN面積=SDMB+SBDN= SCND+ SBDN=SABC=.

          (3)DM=DN仍然成立.

          如圖2,連接BD,

          ∵在RtABC中,AB=BC,AD=DC,

          DB=DC,BDC=90°,

          ∴∠DCB=DBC=45°,

          ∴∠DBM=DCN=135°,

          ∵∠NDC+CDM=90°,∠BDM+CDM=90°,

          ∴∠CDN=BDM,

          CDNBDM中,

          ∵∠CDN=BDM,DC=DB,∠DCN=DBM

          CDNBDM,

          DM=DN.

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          (3)在直線AC上是否存在一點(diǎn)Q,使QBM的周長(zhǎng)最?若存在,求出Q點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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