Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為36cm，點(diǎn)O以6cm/s的速度從點(diǎn)B沿射線BC方向運(yùn)動(dòng)，射線AO交直線DC于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t s.

⑴ 當(dāng)t＝9時(shí)，DE的長(zhǎng)為　　　　cm；

⑵ 設(shè)DE＝y，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

⑶ 在線段BO上取點(diǎn)G，使得OC∶OG＝4∶5．當(dāng)以OC為半徑的⊙O與直線AG相切時(shí)，求t的值.

Answer 1

【答案】(1)DE=24cm;(2) （t＞0）;(3) t的值為或12.

【解析】分析：(1)根據(jù)題意畫(huà)出圖形，再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案;(2)利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;(3)分別利用當(dāng)點(diǎn)O在BC邊上，及當(dāng)點(diǎn)O在BC延長(zhǎng)線上時(shí)，得出點(diǎn)t的值.

詳解：⑴DE=24cm.

圖1 圖2

⑵由正方形ABCD得：∠B=∠D=90°，AB∥DC

由題意得：BO=6t

∵ AB∥CD ∴ ∠BAO=∠AED

∴ △ABO∽△EDA

∴

∴ ，整理得：

∴ y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為：（t＞0）.

⑶設(shè)OC=4x，則OG=5x

ⅰ如圖3，當(dāng)點(diǎn)O在BC邊上，⊙O切AG于點(diǎn)P，OP=OC=4x

△OGP中，∠OPG=90°，

∴

∴ tan∠OGP=

∴ tan∠AGB=

△ABG中，∠B=90° tan∠AGB=，解得：BG=27

∴ BC=27＋5x＋4x=36 解得：x=1

∴ s

圖3 圖4

ⅱ如圖3，當(dāng)點(diǎn)O在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，⊙O切AG于點(diǎn)P，OP=OC=4x

同ⅰ可得：BG=27

∴ BC=27＋5x－4x=36 解得：x=9

∴ s

綜上：當(dāng)以OC為半徑的⊙O與直線AG相切時(shí)，t的值為或12.

點(diǎn)睛:本題考查了圓的綜合，勾股定理的應(yīng)用及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確分類(lèi)討論是解答本題的關(guān)鍵.