Question

【題目】如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，DE∥AC，CE∥BD．
（1）求證：四邊形OCED是菱形；
（2）若∠ACB=30°，菱形OCED的面積為10 ，求AC的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CE∥BD，DE∥AC，

∴四邊形OCED是平行四邊形，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AC=BD，OA=OC，OB=OD，∠ADC=∠ABC=∠BAD=90°，

∴OD=OC，

∴四邊形OCED是菱形

（2）解：∵四邊形OCED是菱形，

∴菱形OCED的面積=2△OCD的面積=△ACD的面積= ADCD=10 ，

∵∠ACB=30°，

∴∠BAC=60°，

∴∠DAC=30°，

∴AC=2CD，AD= CD，

∴ × CDCD=10 ，

解得：CD=2 ，

∴AC=2CD=4

【解析】（1）首先由CE∥BD，DE∥AC，可證得四邊形CODE是平行四邊形，又由四邊形ABCD是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易得OC=OD，即可判定四邊形CODE是菱形，（2）根據(jù)菱形OCED的面積=2△OCD的面積=△ACD的面積= ADCD=10 ，證出AC=2CD，AD= CD，得出 × CDCD=10 ，求出CD，即可得出答案．
【考點精析】通過靈活運(yùn)用矩形的性質(zhì)，掌握矩形的四個角都是直角，矩形的對角線相等即可以解答此題．