Question

如圖，經(jīng)過原點(diǎn)的拋物線y=-x2+bx（b＞2）與x軸的另一交點(diǎn)為A，過點(diǎn)P（1，）作直線PN⊥x軸于點(diǎn)N，交拋物線于點(diǎn)B．點(diǎn)B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為C．連結(jié)CB，CP．

（1）當(dāng)b=4時(shí)，求點(diǎn)A的坐標(biāo)及BC的長(zhǎng)；

（2）連結(jié)CA，求b的適當(dāng)?shù)闹�，使�?/span>CA⊥CP；

（3）當(dāng)b=6時(shí)，如圖2，將△CBP繞著點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△CB′P′，CP與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)為E，點(diǎn)M為線段B′P′（包含端點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出線段EM長(zhǎng)度的取值范圍．

 

Answer 1

（1）（4，0），2；（2）3；（3）4-≤EM≤3．

【解析】

試題分析：（1）利用拋物線y=-x2+4x，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)及BC的長(zhǎng)，

（2）過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，利用△CBP∽△CDA，求出b的值．

（3）利用拋物線y=-x2+6x，求出BC，PC及EP的長(zhǎng)，再分兩種情況①當(dāng)BC在CP上時(shí)，且M點(diǎn)與B′點(diǎn)重合時(shí)線段EM最短，②當(dāng)BC在PC延長(zhǎng)線上時(shí)，且M點(diǎn)與P′點(diǎn)重合時(shí)線段EM最長(zhǎng)，求出線段EM長(zhǎng)度的取值范圍．

試題解析：（1）∵b=4，

∴拋物線y=-x2+4x，

在y=-x2+4中，

令y=0，得-x2+4x=0，

∴x1=0，x2=4

∴A（4，0）

令x=1，得y=3

∴B（1，3）

∵對(duì)稱軸x=-=2

∴C（3，3）

∴BC=2

（2）如圖1，過點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，

∵∠BCP+∠PCD=90°，∠DCA+∠PCD=90°，

∴∠BCP=∠DCA，

又∵∠CBP=∠CDA=90°

∴△CBP∽△CDA

∴

在y=-x2+bx中，

令x=1，則y=b-1

∴B（1，b-1）

又∵對(duì)稱軸x=-，

∴BC=2（-1）=b-2，

∴C（b-1，b-1），

∴CD=b-1，BC=b-2，DA=ON=1，BP=b-1-=-1，

∴，

∴b=3．

（3）∵b=6，

∴拋物線y=-x2+6x

在y=-x2+6x中，

令x=1，得y=5

∴B（1，5）

∵對(duì)稱軸x=

∴C（5，5）

∴BC=4，

∵P（1，），

∴P（1，3），

∴BP=5-3=2，

∴PC=

∵CP與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)為E，

∴EP=EC=PC=，

①如圖2，當(dāng)BC在CP上時(shí)，且M點(diǎn)與B′點(diǎn)重合時(shí)線段EM最短，

∴EM=EP-（PC-BC）=-（2-4）=4-．

②如圖3，當(dāng)BC在PC延長(zhǎng)線上時(shí)，且M點(diǎn)與P′點(diǎn)重合時(shí)線段EM最長(zhǎng)，

EM=EC+P′C=+2=3．

∴4-≤EM≤3．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．