Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，過(guò)BD的中點(diǎn)O做EF⊥BD，分別與AB、CD交于點(diǎn)E、F.連接DE、BF.

（1）求證：四邊形BEDF是菱形；

（2）若M是AD中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)OM與DE交于點(diǎn)N，AD=OM=4，則ON的長(zhǎng)是多少？

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析;（2）.

【解析】

（1）先證明四邊形BEDF是平行四邊形，當(dāng)EF⊥BD時(shí)，四邊形BEDF是菱形，根據(jù)對(duì)角線互相垂直平分的四邊形為菱形證明即可；

（2）根據(jù)中位線的定義與性質(zhì)，得到邊ON與AE的關(guān)系，在Rt△DAE中利用勾股定理列出等式，即可求出ON.

解：（1）當(dāng)EF⊥BD時(shí)，四邊形BEDF是菱形，
理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠DEO=∠OFB，

∠EDO=∠OBF，
∵O是BD的中點(diǎn)

∴OB=OD

∴△EOD≌△FOB，
∴EO=FO，

又∵OB=OD

∴四邊形BEDF是平行四邊形
∵EF⊥BD，
∴四邊形BEDF是菱形；

（2）∵M是AD中點(diǎn)，OD=OB

∴MO是△ABD的中位線

∴MO∥AB

MO=AB

∴ON是△DEB的中位線

∴ON=EB

∵AD=OM=4

∴AB=2MO=8

設(shè)ON=x,則EB=2x,AE=AB-EB=8-2x,DE=EB=2x.

在Rt△DAE中，由勾股定理得：

解得：

綜上所得ON的長(zhǎng)是.