Question

如圖，菱形ABCD中，AB=4，∠ABC=60°，點(diǎn)P，Q，K分別為線段BC，CD，BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為           .

Answer 1

分兩步分析：
（1）若點(diǎn)P，Q固定，此時點(diǎn)K的位置：如圖，作點(diǎn)P關(guān)于BD的對稱點(diǎn)P₁，連接P₁Q，交BD于點(diǎn)K₁。

由線段中垂線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等的性質(zhì)，得
P₁K₁ =" P" K₁，P₁K=PK。
由三角形兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，得P₁K＋QK＞P₁Q= P₁K₁＋Q K₁=" P" K₁＋Q K₁。
∴此時的K₁就是使PK+QK最小的位置。
（2）點(diǎn)P，Q變動，根據(jù)菱形的性質(zhì)，點(diǎn)P關(guān)于BD的對稱點(diǎn)P₁在AB上，即不論點(diǎn)P在BC上任一點(diǎn)，點(diǎn)P₁總在AB上。

因此，根據(jù)直線外一點(diǎn)到直線的所有連線中垂直線段最短的性質(zhì)，得，當(dāng)P₁Q⊥AB時P₁Q最短。
過點(diǎn)A作AQ₁⊥DC于點(diǎn)Q₁�！吡庑蜛BCD，∴∠ADC="∠ABC=60°" ，∴∠DAQ₁=30°。 又∵AD=AB=4，∴P₁Q=AQ₁=AD·cos∠DAQ₁= AD·cos30°=。
綜上所述，PK+QK的最小值為。