Question

【題目】如圖1，點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，分別延長(zhǎng)OD到點(diǎn)G,OC到點(diǎn)E，使OG=2OD,OE=2OC，然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG、DE．
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（1）求證：DE⊥AG；
（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(0°< <360°)得到正方形OE’F’G’，如圖2．
①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)∠OAG’是直角時(shí)，求 的度數(shù)；
②若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，求AF’長(zhǎng)的最大值和此時(shí) 的度數(shù)，直接寫(xiě)出結(jié)果不必說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖1,延長(zhǎng)ED交AG于點(diǎn)H,

∵點(diǎn)O是正方形ABCD兩對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，

∴OA=OD，OA⊥OD，

∵OG=OE，

在△AOG和△DOE中，

，

∴△AOG≌△DOE，

∴∠AGO=∠DEO，

∵∠AGO+∠GAO=90°，

∴∠GAO+∠DEO=90°，

∴∠AHE=90°，

即DE⊥AG；

（2）解：①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,∠OAG′成為直角有兩種情況：

(Ⅰ)α由0°增大到90°過(guò)程中,當(dāng)∠OAG′=90°時(shí)，

∵OA=OD= OG= OG′，

∴在Rt△OAG′中,sin∠AG′O= = ，

∴∠AG′O=30°，

∵OA⊥OD,OA⊥AG′，

∴OD∥AG′,

∴∠DOG′=∠AG′O=30°，

即α=30°；

(Ⅱ)α由90°增大到180°過(guò)程中,當(dāng)∠OAG′=90°時(shí)，

同理可求∠BOG′=30°，

∴α=180°30°=150°.

綜上所述,當(dāng)∠OAG′=90°時(shí),α=30°或150°.

②如圖3,當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A. O、F′在一條直線(xiàn)上時(shí),AF′的長(zhǎng)最大，

∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，

∴OA=OD=OC=OB= ，

∵OG=2OD，

∴OG′=OG= ，

∴OF′=2，

∴AF′=AO+OF′= +2，

∵∠COE′=45°，

∴此時(shí)α=315°

【解析】（1）延長(zhǎng)ED交AG于點(diǎn)H，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出得出OA=OD，OG=OE，再證△AOG≌△DOE，得出∠AGO=∠DEO，根據(jù)等量代換證明結(jié)論。
（2）①根據(jù)題意和銳角正弦的概念以及特殊角的三角函數(shù)值得到∠AG′O=30°，分兩種情況求出α的度數(shù)。
②根據(jù)正方形的性質(zhì)分別求出OA和OF的長(zhǎng)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)求出AF′長(zhǎng)的最大值和此時(shí)α的度數(shù)。