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        1. 【題目】如圖,AB是⊙O的弦,AB=4,過圓心O的直線垂直AB于點(diǎn)D,交⊙O于點(diǎn)C和點(diǎn)E,連接AC、BC、OB,cos∠ACB= ,延長(zhǎng)OE到點(diǎn)F,使EF=2OE.
          (1)求⊙O的半徑;
          (2)求證:BF是⊙O的切線.

          【答案】
          (1)

          解:連OA,如圖,

          ∵直徑CE⊥AB,

          ∴AD=BD=2,弧AE=弧BE,

          ∴∠ACE=∠BCE,∠AOE=∠BOE,

          又∵∠AOB=2∠ACB,

          ∴∠BOE=∠ACB,

          而cos∠ACB= ,

          ∴cos∠BOD= ,

          在Rt△BOD中,設(shè)OD=x,則OB=3x,

          ∵OD2+BD2=OB2

          ∴x2+22=(3x)2,解得x= ,

          ∴OB=3x=

          即⊙O的半徑為 ;


          (2)

          證明:∵FE=2OE,

          ∴OF=3OE= ,

          = ,

          = ,

          = ,

          而∠BOF=∠DOB,

          ∴△OBF∽△ODB,

          ∴∠OBF=∠ODB=90°,

          ∵OB是半徑,

          ∴BF是⊙O的切線.


          【解析】(1)連OA,由直徑CE⊥AB,根據(jù)垂徑定理可得到AD=BD=2,弧AE=弧BE,利用圓周角定理得到∠ACE=∠BCE,∠AOB=2∠ACB,且∠AOE=∠BOE,則∠BOE=∠ACB,可得到cos∠BOD=cos∠ACB= ,在Rt△BOD中,設(shè)OD=x,則OB=3x,利用勾股定理可計(jì)算出x= ,則OB=3x= ;(2)由于FE=2OE,則OF=3OE= ,則 = ,而 = ,于是得到 = ,根據(jù)相似三角形的判定即可得到△OBF∽△ODB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)有∠OBF=∠ODB=90°,然后根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論.

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          規(guī)格

          ﹣0.2

          ﹣0.1

          0

          0.1

          0.2

          0.5

          筐數(shù)

          5

          8

          2

          6

          8

          1

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