Question

在反比例函數(shù)y=

10

x

（x＞0）的圖象上，有一系列點(diǎn)A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n+1，若A₁的橫坐標(biāo)為2，且以后每點(diǎn)的橫坐標(biāo)與它前一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差都為2．現(xiàn)分別過點(diǎn)A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n+1作x軸與y軸的垂線段，構(gòu)成若干個(gè)矩形如圖所示，將圖中陰影部分的面積從左到右依次記為S₁，S₂，S₃，…，S_n，則S₁=

 

，S₁+S₂+S₃+…+S_n=

 

．（用n的代數(shù)式表示）．

Answer 1

分析：由已知條件橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，再根據(jù)點(diǎn)A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n+1在反比例函數(shù)上，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，再由面積公式求出S_n的表達(dá)式，把n=1代入求得S₁的值．

解答：解：∵點(diǎn)A₁、A₂、A₃、…、A_n、A_n+1在反比例函數(shù)y=

10

x

（x＞0）的圖象上，且每點(diǎn)的橫坐標(biāo)與它前一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)的差都為2，
又點(diǎn)A₁的橫坐標(biāo)為2，
∴A₁（2，5），A₂（4，

5

2

）
∴S₁=2×（5-

5

2

）=5；
由題圖象知，A_n（2n，

10

2n

），A_n+1（2n+2，

10

2n+2

），
∴S₂=2×（

10

4

-

10

6

）=

5

3

，
∴圖中陰影部分的面積知：S_n=2×（

10

2n

-

10

2n+2

）=

10

n(n+1)

，（n=1，2，3，…）
∵

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴S₁+S₂+S₃+…+S_n=10（

1

2

+

1

6

+…+

1

n(n+1)

）=10（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

n

-

1

n+1

）=

10n

n+1

．
故答案為：

10n

n+1

．

點(diǎn)評(píng)：此題是一道規(guī)律題，首先根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)及圖象，求出A_n的坐標(biāo)的表達(dá)式，再由此求出S_n的表達(dá)式．