Question

【題目】已知拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)為P，與y軸交于點(diǎn)A，與直線OP交于點(diǎn)B．
（1）如圖1，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，6），試確定拋物線的解析式；

（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)M是直線AB下方拋物線上的一點(diǎn)，且S△ABM=3，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）如圖2，若點(diǎn)P在第一象限，且PA=PO，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D．將拋物線y=x2+bx+c平移，平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D，該拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C，請(qǐng)?zhí)骄克倪呅蜲ABC的形狀，并說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：依題意， ，

解得b=﹣2．

將b=﹣2及點(diǎn)B（3，6）的坐標(biāo)代入拋物線解析式y(tǒng)=x2+bx+c得6=32﹣2×3+c．

解得 c=3．

所以拋物線的解析式為y=x2﹣2x+3．

（2）

解：∵拋物線y=x2﹣2x+3與y軸交于點(diǎn)A，

∴A（0，3）．

∵B（3，6），

可得直線AB的解析式為y=x+3．

設(shè)直線AB下方拋物線上的點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，x2﹣2x+3），過(guò)M點(diǎn)作y軸的平行線交直線AB于點(diǎn)N，則N（x，x+3）．（如圖1）

∴ ．

∴ ．

解得 x1=1，x2=2．

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1，2）或 （2，3）．

（3）

解：如圖2，由 PA=PO，OA=c，可得 ．

∵拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，

∴ ．

∴b2=2c．

∴拋物線 ，A（0， ），P（ ， ），D（ ，0）．

可得直線OP的解析式為 ．

∵點(diǎn)B是拋物線 與直線 的圖象的交點(diǎn)，

令 ．

解得 ．

可得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣b， ）．

由平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，可設(shè)平移后的拋物線解析式為 ．

將點(diǎn)D（ ，0）的坐標(biāo)代入 ，得 ．

則平移后的拋物線解析式為 ．

令y=0，即 ．

解得 ．

依題意，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（﹣b，0）．

則BC= ．

則BC=OA．

又∵BC∥OA，

∴四邊形OABC是平行四邊形．

∵∠AOC=90°，

∴四邊形OABC是矩形．

【解析】（1）首先求出b的值，然后把b=﹣2及點(diǎn)B（3，6）的坐標(biāo)代入拋物線解析式y(tǒng)=x2+bx+c求出c的值，拋物線的解析式即可求出；（2）首先求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出直線AB的解析式，設(shè)直線AB下方拋物線上的點(diǎn)M坐標(biāo)為（x，x2﹣2x+3），過(guò)M點(diǎn)作y軸的平行線交直線AB于點(diǎn)N，則N（x，x+3），根據(jù)三角形面積為3，求出x的值，M點(diǎn)的坐標(biāo)即可求出；（3）由PA=PO，OA=c，可得 ，又知拋物線y=x2+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，即可求出b和c的關(guān)系，進(jìn)而得到A（0， ），P（ ， ），D（ ，0），根據(jù)B點(diǎn)是直線與拋物線的交點(diǎn)，求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，由平移后的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，可設(shè)平移后的拋物線解析式為 ，再求出b與m之間的關(guān)系，再求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，結(jié)合∠AOC=90°即可證明四邊形OABC是矩形．
【考點(diǎn)精析】掌握二次函數(shù)的圖象和二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn)：1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn)；增減性：當(dāng)a>0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而減��；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而增大；當(dāng)a<0時(shí)，對(duì)稱軸左邊，y隨x增大而增大；對(duì)稱軸右邊，y隨x增大而減�。�