Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，⊙O₁與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸正半軸交于C點(diǎn)，已知A（-1，0），O₁（1，0）
（1）求出C點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）過點(diǎn)C作CD∥AB交⊙O₁于D，連接BD，求證：四邊形ABDC是等腰梯形．
（3）若過點(diǎn)C的直線恰好平分四邊形ABCD的面積，求出該直線的解析式．

Answer 1

（1）∵A（-1，0），O₁（1，0），
∴OA=OO₁又O₁A=O₁C…1分，
∴易知△O₁AC為等邊三角形…2分，
∴易求C點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，

3

）…3分．

（2）證明：連接AD，
∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠BAD，
∴

AC

=

BD

，
∴AC=BD，
∵直徑AB于弦CD不等，
∴AC不平行BD，
∴四邊形ABCD為等腰梯形…7分．

（3）解法一：過D作DH⊥AB于H，
∴△AOC≌△BDH，四邊形COHD為矩形…8分，
∴CH必平分四邊形ABCD的面積，
易求點(diǎn)H（2，0）…9分，
設(shè)直線CH的解析式為：y=kx+b，
則：

2k+b=0 b= 3

，
解得

k=- 3 2 b= 3

…11分，
∴直線CH的解析式：y=-

3

2

x+

3

…12分．
解法二：設(shè)直線CH平分四邊形ABCD的面積，并設(shè)H（x，0），
連接AD，
∵CD∥AB，
∴∠CDA=∠BAD，
∴

AC

=

BD

，
∴AC=BD=2，
∵S_△ACH=S_梯形CDBH，
∴

1

2

3

(x+1)=

1

2

3

[2+(3-x)]，
∴x+1=5-x，
∴x=2，
由C（0，

3

）和H（2，0），易求CH的解析式：y=-

3

2

x+

3

．