Question

28、已知如圖1：△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作EF∥BC交AB、AC于E、F．
①圖中有幾個等腰三角形？請說明EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系．

②若AB≠AC，其他條件不變，如圖2，圖中還有等腰三角形嗎？如果有，請分別指出它們．另第①問中EF與BE、CF間的關(guān)系還存在嗎？
③若△ABC中，∠B的平分線與三角形外角∠ACD的平分線CO交于O，過O點(diǎn)作OE∥BC交AB于E，交AC于F．如圖3，這時圖中還有哪幾個等腰三角形？EF與BE、CF間的關(guān)系如何？為什么？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)EF∥BC，∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，可得∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，再加上題目中給出的AB=AC，共5個等腰三角形；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可得出EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系．
（2）根據(jù)EF∥BC 和∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，還可以證明出△OBE和△OCF是等腰三角形；利用幾個等腰三角形的性質(zhì)即可得出EF與BE，CF的關(guān)系．
（3）EO∥BC和OB，OC分別是∠ABC與∠ACL的角平分線，還可以證明出△BEO和△CFO是等腰三角形．

解答：（1）有5個等腰三角形，EF與BE、CF間有怎樣的關(guān)系是：EF=BE+CF=2BE=2CF，
證明：∵EF∥BC，∴有∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
又∠B、∠C的平分線交于O點(diǎn)，
∴∠EBO=∠OBC，∠FCO=∠OCB，
∴∠EOB=∠OBE，∠FCO=∠FOC，
∴OE=BE，OF=CF，
∴EF=OF+OE=BE+CF．
又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，
∴∠EOB=∠OBE=∠FCO=∠FOC，
∴EF=BE+CF=2BE=2CF；

（2）有2個等腰三角形分別是：等腰△OBE和等腰△OCF；
第一問中的EF與BE，CF的關(guān)系是：EF=BE+CF．

（3）有，還是有2個等腰三角形，△EBO，△AEF，EF=BE-CF，
證明：∵EO∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠EOC=∠OCG（G是BC的BC延長線上的一點(diǎn)）
又∵OB，OC分別是∠ABC與∠ACG的角平分線
∴∠EBO=∠OBC，∠ACO=∠OCG，
∴∠EOB=∠EBO，
∴BE=OE，
∠FCO=∠FOC，
∴CF=FO，
又∵EO=EF+FO，
∴EF=BE-CF．

點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生對等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線性質(zhì)的理解和掌握，此題難度并不大，但是步驟繁瑣，屬于中檔題，還有第（1）中容易忽略△ABC也是等腰三角形，因此這又是一道易錯題．要求學(xué)生在證明此題時一定要仔細(xì)，認(rèn)真．