Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，直線AB：y=﹣x+b交y軸于點(diǎn)A（0，4），交x軸于點(diǎn)B．

（1）求直線AB的表達(dá)式和點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）直線l垂直平分OB交AB于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，點(diǎn)P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，且在點(diǎn)D的上方，設(shè)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為n．

①用含n的代數(shù)式表示△ABP的面積；

②當(dāng)S△ABP=8時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

③在②的條件下，以PB為斜邊在第一象限作等腰直角△PBC，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）AB:y=-x+4，B(4，0)；（2）①S△ABP=2n-4，②P(2，6)，③C(6，4).

【解析】試題分析：

（1）把點(diǎn)A（0，4）代入y=﹣x+b解得b的值，即可得到一次函數(shù)的解析式，由解析式即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）①由（1）中所求點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）結(jié)合題意可知，直線PE為： ，由此可求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而可用含“n”的代數(shù)式表達(dá)出PD的長，由S△ABP=PD·OB即可用含“n”表達(dá)的面積；

②將S△ABP=8代入①中所求的表達(dá)式中，解方程即可求得“n”的值，從而可得此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

③如下圖，設(shè)點(diǎn)C1和C2是符合題意的點(diǎn)C，則由題意易得：四邊形BC1PC2是正方形，過點(diǎn)C1作C1M⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作PN存在MC1于點(diǎn)N，則四邊形PEMN是矩形，△C1MB≌△PNC1；設(shè)BM= ，則C1M=MN-NC1= ；在Rt△PBE中，由勾股定理可求得：PB=；再在Rt△BMC1中，由BM2+C1M2=BC12，建立關(guān)于“”分方程，解方程求得“”的值，即可求得點(diǎn)C1的坐標(biāo)；同理可求得點(diǎn)C2的坐標(biāo)；最后結(jié)合點(diǎn)C在第一象限這一條件即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo).

試題解析：

（1）∵直線AB：y=﹣x+b交y軸于點(diǎn)A（0，4），

∴b=4，

∴直線AB的表達(dá)式為：y=﹣x+4.

∵在y=﹣x+4中，當(dāng)y=0時(shí)，x=4，

∴直線AB與x軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0）；

（2）①∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4，0），

∴OB=4，

∵直線l垂直平分OB交AB于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，

∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為2，

∵在y=-x+4中，當(dāng)x=2時(shí)，y=-2+4=2，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）.

∵P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，且在點(diǎn)D的上方，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為n，

∴PD=n-2，

∴S△ABP=PD·OB=；

②當(dāng)S△ABP=8時(shí)，由解得： ，

∴此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，6）；

③如圖，設(shè)點(diǎn)C1和C2是符合題意的點(diǎn)C，則由題意易得：四邊形BC1PC2是正方形，過點(diǎn)C1作C1M⊥x軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作PN存在MC1于點(diǎn)N，則四邊形PEMN是矩形，△C1MB≌△PNC1，

∴MN=PE=6，NC1=BM，PN=C1M=BM+BE，

設(shè)BM= ，則C1M=MN-NC1= .

∵在Rt△PBE中，PE=6，BE=OB=2，

∴PB=，

又∵PB是等腰Rt△PC1B的斜邊，

∴BC1=.

∵在Rt△BMC1中，BM2+C1M2=BC12，

∴，解得： ，

∵當(dāng)時(shí)，PN=C1M=6-4=2<BM+BE，

∴只能取2，

∴BM=2，C1M=6-2=4，

∴OM=OB+BM=4+2=6，

∴點(diǎn)C1的坐標(biāo)為（6，4）；

同理可求得點(diǎn)C2的坐標(biāo)為（0，2）；

又∵點(diǎn)C在第一象限，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（6，4）.