Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，在△DCE中，∠DCE=90°，DC=EC=6，點D在線段AC上，點E在線段BC的延長線上．將△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)60°得到△D′CE′（點D的對應(yīng)點為點D′，點E的對應(yīng)點為點E′），連接AD′、BE′，過點C作CN⊥BE′，垂足為N，直線CN交線段AD′于點M，則MN的長為_____．

Answer 1

【答案】7+或7﹣

【解析】

將△DCE繞點C旋轉(zhuǎn)60°得到△D′CE′，可分為順時針和逆時針旋轉(zhuǎn)兩個圖形；先求順時針旋轉(zhuǎn)的情形，如圖作輔助線，先解Rt△BFC，再解△BE′F求BE′，用“面積法”求CN，證明△ACG≌△BCN，△CD′H≌△CE′N，將有關(guān)線段轉(zhuǎn)化，可求CM，從而可求MN．

若將△DCE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△D′CE′，

如圖中左邊所示，過點B作E′C的垂線交其延長線于F點，過點D′作CM的垂線交CM于H點，過A點作CM的垂線交其延長線于G點．

∵∠ACD′=60°，∠ACB=∠D′CE′=90°，

∴∠BCE′=360°﹣∠ACD′﹣∠ACB﹣∠D′CE′=120°．

∴∠BCF=180°﹣∠BCE′=60°，

BF=sin∠BCFBC=×10=5，

∴S△BCE′=BFCE′=15．

∵∠ACG+∠BCN=90°，∠BCN+∠CBN=90°，

∴∠ACG=∠CBN，

又∵AC=BC，

∴Rt△ACG≌Rt△CBN，

∴AG=CN，CG=BN．

同理△CD′H≌△E′CN，D′H=CN，CH=NE′．

∴AG=D′H，

在△AMG和△D′MH中，

∴△AMG≌△D′MH，

∴HM=MG，

∴M為GH中點，CM=（CG+CH）=（NB+NE′）=BE′．

又∵BF=5，∠BCF=60°，

∴CF=5，F(xiàn)E′=CF+CE′=11，

∴BE′=，

∴CM=BE′=7．

又∵S△BCE′=CNBE′，

∴CN=2S△BCE′÷BE′=，

∴MN=CM+CN=7+．

②同理，當(dāng)△CDE逆時針旋轉(zhuǎn)60°時，MN如圖中右邊所示，MN=7﹣．

故答案為：7+或7﹣．