Question

已知如圖，拋物線與x軸相交于B（1，0）、C（4，0）兩點(diǎn)，與y軸的正半軸相交于A點(diǎn)，過(guò)A、B、C三點(diǎn)的⊙P與y軸相切于點(diǎn)A．M為y軸負(fù)半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線MB交⊙P于點(diǎn)D，交拋物線于點(diǎn)N。

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出答案：點(diǎn)A坐標(biāo)         ，⊙P的半徑為          ；
（2）求拋物線的解析式；
（3）若，求N點(diǎn)坐標(biāo)；
（4）若△AOB與以A、B、D為頂點(diǎn)的三角形相似，求MB•MD的值．

Answer 1

（1）（0，2），；（2）；（3）（6，5）；（4）或

試題分析：（1）根據(jù)拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)的特征結(jié)合切線的性質(zhì)求解即可；
（2）根據(jù)拋物線過(guò)B（1，0）、C（4，0），設(shè)y=a(x-1)(x-4)，再把A（0，2）代入求即；
（3）設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），由題意有，即可求得y₀的值，再根據(jù)函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征求解即可；
（4）根據(jù)題意∠OAB=∠ADB，所以△AOB和△ABD相似有兩種情況：①∠ABD和∠AOB對(duì)應(yīng)，此時(shí)AD是⊙P的直徑；②∠BAD和∠AOB對(duì)應(yīng)，此時(shí)BD是⊙P的直徑，所以直線MB過(guò)P點(diǎn)，分別根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可.
（1）A點(diǎn)坐標(biāo)是（0，2），⊙P的半徑長(zhǎng)為；
（2）拋物線過(guò)B（1，0）、C（4，0），設(shè)y=a(x-1)(x-4)
將A（0，2）代入得4a=2，解得a=
拋物線的解析式是：；
（3）設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為（x₀，y₀），由題意有
∴，解得y₀=5
∵N點(diǎn)在拋物線上  
∴
解得 x₀=6或 x₀=1（不合題意，舍去）
∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為（6，5）；
（4）根據(jù)題意∠OAB=∠ADB，所以△AOB和△ABD相似有兩種情況：
①∠ABD和∠AOB對(duì)應(yīng)，此時(shí)AD是⊙P的直徑

則AB=，AD=5
∴ BD=2
∵Rt△AMB∽R(shí)t△DAB
∴ MA：AD=AB：BD 即 MA=
∵Rt△AMB∽R(shí)t△DMA
∴MA：MD=MB：MA
即 MB·MD=MA²= 
②∠BAD和∠AOB對(duì)應(yīng)，此時(shí)BD是⊙P的直徑，所以直線MB過(guò)P點(diǎn)

∵B（1，0），P（，2）
∴直線MB的解析式是：
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（0， 
∴AM=
由△MAB∽△MDA得MA：MD=MB：MA
∴MB·MD=MA²=.
點(diǎn)評(píng)：此類問(wèn)題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)，在中考中極為常見(jiàn)，一般以壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大.