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        1. 【題目】如圖,已知拋物線y=﹣x2+2x經(jīng)過原點O,且與直線y=x﹣2交于B,C兩點.

          (1)求拋物線的頂點A的坐標(biāo)及點B,C的坐標(biāo);

          (2)求證:∠ABC=90°;

          (3)在直線BC上方的拋物線上是否存在點P,使△PBC的面積最大?若存在,請求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;

          (4)若點N為x軸上的一個動點,過點N作MN⊥x軸與拋物線交于點M,則是否存在以O(shè),M,N為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,請求出點N的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

          【答案】(1) A(1,1), B(2,0),C(-1,-3);(2)證明見解析;(3) 存在滿足條件的點P,(

          );(4) 存在滿足條件的N點,其坐標(biāo)為(5,0)或(-1,0)或(,0)或(,0).

          );

          【解析】(1)把拋物線解析式化為頂點式可求得A點坐標(biāo),聯(lián)立拋物線與直線的解析式可求得B、C的坐標(biāo);

          (2)由A、B、C的坐標(biāo)可求得AB2、BC2和AC2,由勾股定理的逆定理可判定△ABC是直角三角形;

          (3)過點P作PG∥y軸,交直線BC于點G,設(shè)出P點坐標(biāo),則可表示出G點坐標(biāo),從而可表示出PG的長,則可表示出△PBC的面積,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得其最大值時P點坐標(biāo);

          (4)設(shè)出M、N的坐標(biāo),則可表示出MN和ON的長度,由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于N點坐標(biāo)的方程可求得N點坐標(biāo).

          解:(1)∵y=﹣x2+2x=﹣(x﹣1)2+1,

          ∴拋物線頂點坐標(biāo)A(1,1),

          聯(lián)立拋物線與直線解析式可得,解得

          ∴B(2,0),C(﹣1,﹣3);

          (2)證明:

          由(1)可知B(2,0),C(﹣1,﹣3),A(1,1),

          ∴AB2=(1﹣2)2+12=2,BC2=(﹣1﹣2)2+(﹣3)2=18,

          AC2=(﹣1﹣1)2+(﹣3﹣1)2=20,∴AC2=AB2+BC2,

          ∴△ABC是直角三角形,

          ∴∠ABC=90°;

          (3)如圖,過點P作PG∥y軸,交直線BC于點G,

          設(shè)P(t,﹣t2+2t),則G(t,t﹣2),

          ∵點P在直線BC上方,

          ∴PG=﹣t2+2t﹣(t﹣2)=﹣t2+t+2=﹣(t﹣2+,

          ∴S△PBC=S△PGB+S△PGC=PG[2﹣(﹣1)]= PG=﹣(t﹣2+,

          ∵﹣<0,

          ∴當(dāng)t=時,S△PBC有最大值,此時P點坐標(biāo)為(, ),

          即存在滿足條件的點P,其坐標(biāo)為(, );

          (4)∵∠ABC=∠ONM=90°,

          ∴當(dāng)△OMN和△ABC相似時,有,

          設(shè)N(m,0),

          ∵M(jìn)N⊥x軸,

          ∴M(m,﹣m2+2m),

          ∴MN=|﹣m2+2m|,ON=|m|,

          ①當(dāng)時,即=,解得m=5或m=﹣1或m=0(舍去);

          ②當(dāng)時,即=,解得m=或m=或m=0(舍去);

          綜上可知存在滿足條件的N點,其坐標(biāo)為(5,0)或(﹣1,0)或(,0)或(,0).

          “點睛”此題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用,涉及了相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理,解答本題需要我們熟練各個知識點的內(nèi)容,認(rèn)真探究題目,謹(jǐn)慎作答.

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