【題目】如圖,已知拋物線y=ax2﹣2x+c經(jīng)過△ABC的三個頂點,其中點A(0,1),點B(9,10),AC∥x軸.
(1)求這條拋物線的解析式.
(2)求tan∠ABC的值.
(3)若點D為拋物線的頂點,點E是直線AC上一點,當(dāng)△CDE與△ABC相似時,求點E的坐標(biāo).
【答案】(1);(2)
;(3)E(4,1)或E(﹣3,1).
【解析】
(1)將點A和點B的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得a、c的值即可;
(2)過點B作BH⊥AC交AC延長線于點H,過點C作CG⊥AB于點G,先證明△ABH和△ACG均為等腰直角三角形,再求出CG和BG的長,然后依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義求解即可;
(3)過點D作DK⊥AC,垂足為K,先證明△DCK為等腰直角三角形,則∠DCK=∠BAC,當(dāng)或
時,△CDE與△ABC相似,然后可求得CE的長.
解:(1)∵拋物線y=ax2﹣2x+c經(jīng)過點A(0,1)和點B(9,10),
∴,解得
.
∴這條拋物線的解析式為.
(2)過點B作BH⊥AC交AC延長線于點H,
∵AC∥x軸,A(0,1),B(9,10),∴H(9,1),∴BH=AH=9.
又∵∠BHA=90°,∴△HAB是等腰直角三角形,∴∠HAB=45°.
∵AC∥x軸,A(0,1),對稱軸為直線,∴C(6,1).
過點C作CG⊥AB,垂足為點G,
∵∠GAC=45°,∠AGC=90°,∴,∴
.
又∵在Rt△ABH中,,∴
.
∴在Rt△BCG中,.
(3)如圖2所示:過點D作DK⊥AC,垂足為K,
∵點D是拋物線的頂點,∴D(3,﹣2).
∴K(3,1),∴CK=DK=3.
又∵∠CKD=90°,∴△CDK是等腰直角三角形,∴∠DCK=45°
又∵∠BAC=45°,
∴∠DCK=∠BAC.
∴要使△CDE與△ABC相似,則點E在點C的左側(cè).
當(dāng)時,則
,∴EC=2,∴E(4,1);
當(dāng)時,則
,∴EC=9,∴E(﹣3,1).
綜上所述,當(dāng)△CDE與△ABC相似時,點E的坐標(biāo)為(4,1)或(﹣3,1).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知,梯形中,
,
,
∥
,
,
,點
在
邊上,以點
為圓心
為半徑作弧交邊
于點
,射線
與射線
交于點
.
(1)若,求
的長;
(2)聯(lián)結(jié),若
,求
的長;
(3)線段上是否存在點
,使得△
與△
相似,若相似,求
的值,若不相似,請說明理由
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知直線與x軸、y軸分別交于A、B兩點,設(shè)O為坐標(biāo)原點.
(1)求∠ABO的正切值;
(2)如果點A向左平移12個單位到點C,直線l過點C且與直線平行,求直線l的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:以O為圓心的扇形AOB中,∠AOB=90°,點C為上一動點,射線AC交射線OB于點D,過點D作OD的垂線交射線OC于點E,聯(lián)結(jié)AE.
(1)如圖1,當(dāng)四邊形AODE為矩形時,求∠ADO的度數(shù);
(2)當(dāng)扇形的半徑長為5,且AC=6時,求線段DE的長;
(3)聯(lián)結(jié)BC,試問:在點C運動的過程中,∠BCD的大小是否確定?若是,請求出它的度數(shù);若不是,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC中,AB=AC=5,BC=6,點O是邊BC上的動點,以點O為圓心,OB為半徑作圓O,交AB邊于點D,過點D作∠ODP=∠B,交邊AC于點P,交圓O與點E.設(shè)OB=x.
(1)當(dāng)點P與點C重合時,求PD的長;
(2)設(shè)AP﹣EP=y,求y關(guān)于x的解析式及定義域;
(3)聯(lián)結(jié)OP,當(dāng)OP⊥OD時,試判斷以點P為圓心,PC為半徑的圓P與圓O的位置關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC和△BEC均為等腰直角三角形,且∠ACB=∠BEC=90°,AC=4,點P為線段BE延長線上一點,連接CP以CP為直角邊向下作等腰直角△CPD,線段BE與CD相交于點F.
(1)求證:;
(2)連接BD,請你判斷AC與BD有什么位置關(guān)系?并說明理由;
(3)若PE=1,求△PBD的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,由正比例函數(shù)沿
軸的正方向平移4個單位而成的一次函數(shù)
的圖像與反比例函數(shù)(
)在第一象限的圖像交于A(1,n)和B兩點.
(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式;
(2)求△ABO的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,為
的直徑,弦
,
相交于點
,且
于點
,過點
作
的切線交
的延長線于點
.
(1)求證:;
(2)若的半徑為5,點
是
的中點,
,寫出求線段
長的思路.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在直角三角形中,
,
,
.動點
從點
出發(fā),沿線段
向終點
以
的速度運動,同時動點
從點
出發(fā)沿線段
以
的速度向終點
運動,以
,
為鄰邊作平行四邊形
.設(shè)平行四邊形
與直角三角形
重疊部分圖形的面積為
,點
運動的時間為
.
(1)當(dāng)點落在線段
上時,求
的值;
(2)求與
之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量
的取值范圍;
(3)當(dāng)四邊形為矩形時,直接寫出
的值.
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