Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，分別過點A，C作AE∥DC，CE∥AB，兩線交于點E．

（1）求證：四邊形AECD是菱形；

（2）如果∠B=60°，BC=2，求四邊形AECD的面積．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）2.

【解析】

（1）直接利用平行四邊形的判定方法得出四邊形AECD是平行四邊形，再利用直角三角形的性質(zhì)得出CD=AD，即可得出四邊形AECD是菱形；

（2）利用菱形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)得出AC，ED的長，進而得出菱形面積．

（1）證明：∵AE∥DC，CE∥AB，

∴四邊形AECD是平行四邊形，

∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜邊AB上的中線，

∴CD=AD，

∴四邊形AECD是菱形；

（2）解：連接DE．

∵∠ACB=90°，∠B=60°，

∴∠BAC=30°

∴AB=4，AC=2，

∵四邊形AECD是菱形，

∴EC=AD=DB，

又∵EC∥DB

∴四邊形ECBD是平行四邊形，

∴ED=CB=2，

∴S菱形AECD=×AC×ED=2．