Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）如圖2，連接，點(diǎn)是線段上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）在拋物線上是否存在點(diǎn)，使得？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3）存在，；；

【解析】

（1）利用待定系數(shù)法，即可求出解析式；

（2）先求出AB，OC的長度，結(jié)合，求出直線BC的方程，過點(diǎn)作軸垂線，交于點(diǎn)，設(shè)，則，然后用a的代數(shù)式表示DH，求出a的值，即可得到點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）根據(jù)題意，可分為兩種情況進(jìn)行情況①，作的垂直平分線交拋物線于點(diǎn)；情況②，作的外接圓，與拋物線交于點(diǎn)；結(jié)合二次函數(shù)與圓的性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

解：（1）將點(diǎn)代入得：，

解得：

∴拋物線解析式為：；

（2）當(dāng)時(shí)

解得：，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

如圖①，過點(diǎn)作軸垂線，交于點(diǎn)，

設(shè)，則，

∴，

∴，

整理得，

解得：，

當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，；

∴或；

（3）存在；

情況1：如圖②，作的垂直平分線交拋物線于點(diǎn)，此時(shí)，

∵是等腰直角三角形，垂直平分，

∴，

由，得，

解得：，；

∴，；

情況2：如圖③，作的外接圓，與拋物線交于點(diǎn)，

∵，

∴，

∵為直徑，

∴，

過點(diǎn)作軸平行線交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴；

設(shè)，

則

∴，

整理得：，

解得：；

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在第二象限，此時(shí)，故舍去

當(dāng)時(shí)，，

∴，

綜上所述：；；.