Question

【題目】如圖，平面直角坐標(biāo)系中，A（0，a），B（b，0）且a、b滿足|a+2b﹣6|+|a﹣2b+2|＝0．E為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，∠BED＝∠OAB，BD⊥EC，垂足在EC的延長(zhǎng)線上，試求：

（1）判斷△OAB的形狀，并說(shuō)明理由；

（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，探究線段AC與BD的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB（不與A、B重合）上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試探究線段EC與BD的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）△OAB是等腰直角三角形；（2）AC＝2BD，理由見(jiàn)解析；（3）EC＝2BD，證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)非負(fù)性得出a，b的值進(jìn)而解答即可．

（2）延長(zhǎng)BD與y軸交于點(diǎn)F，證明△ABD≌△AFD，可得BD＝DF，再證明△AOC≌△BOF，可得AC＝BF，即可得出結(jié)論；

（3）過(guò)點(diǎn)E作EN⊥x軸于點(diǎn)K，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，證明△EBD≌△END，可得BD＝DN，再證明△EKC≌△BKN，可得EC＝BN，則結(jié)論得證．

解：（1）∵|a+2b﹣6|+|a﹣2b+2|＝0，|a+2b﹣6|≥0，|a﹣2b+2|≥0

∴，

解得，

∴OA＝OB，

又∵∠AOB＝90°，

∴△OAB是等腰直角三角形．

（2）AC＝2BD，理由如下：如圖1，延長(zhǎng)BD與y軸交于點(diǎn)F，

∵，

∴∠BAD＝∠FAD

又∵BD⊥EC，∠ADB＝∠ADF，

在△ADB和△ADF中，

，

∴△ABD≌△AFD（ASA），

∴BD＝DF，

∵

∴

在△AOC和△BOF中

∴△AOC≌△BOF（ASA），

∴AC＝BF，

∴AC＝2BD；

（3）EC＝2BD，證明如下：

如圖2，過(guò)點(diǎn)E作EN⊥x軸于點(diǎn)K，交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，

∴EN∥y，

∴∠NEB＝∠OAB，

∵∠BED＝∠OAB，

∴∠NED＝∠BED，

在△EBD和△END中，

，

∴△EBD≌△END（ASA），

∴BD＝DN，

∴

在△EKC和△BKN中，

∴△EKC≌△BKN（ASA），

∴EC＝BN，

∴EC＝2BD．