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        1. 【題目】如圖1,已知拋物線y=﹣x2+x+x軸交于A,B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,點D是點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點,連接CD,過點DDHx軸于點H,過點AAEACDH的延長線于點E.

          (1)求線段DE的長度;

          (2)如圖2,試在線段AE上找一點F,在線段DE上找一點P,且點M為直線PF上方拋物線上的一點,求當(dāng)CPF的周長最小時,MPF面積的最大值是多少;

          (3)在(2)問的條件下,將得到的CFP沿直線AE平移得到C′F′P′,將C′F′P′沿C′P′翻折得到C′P′F″,記在平移過稱中,直線F′P′x軸交于點K,則是否存在這樣的點K,使得F′F″K為等腰三角形?若存在求出OK的值;若不存在,說明理由.

          【答案】(1)2 ;(2) ;(3)見解析.

          【解析】分析:(1)根據(jù)解析式求得C的坐標(biāo),進(jìn)而求得D的坐標(biāo),即可求得DH的長度,令y=0,求得A,B的坐標(biāo),然后證得△ACO∽△EAH,根據(jù)對應(yīng)邊成比例求得EH的長,進(jìn)繼而求得DE的長;

          (2)找點C關(guān)于DE的對稱點N(4,),找點C關(guān)于AE的對稱點G(-2,-),連接GN,交AE于點F,交DE于點P,即G、F、P、N四點共線時,△CPF周長=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小,根據(jù)點的坐標(biāo)求得直線GN的解析式:y=x-;直線AE的解析式:y= -x-,過點My軸的平行線交FH于點Q,設(shè)點M(m,-m+m+),則Q(m,m-),根據(jù)S△MFP=S△MQF+S△MQP,得出S△MFP= -m+m+,根據(jù)解析式即可求得,△MPF面積的最大值;

          (3)由(2)可知C(0,),F(xiàn)(0,),P(2,),求得CF=,CP=,進(jìn)而得出△CFP為等邊三角形,邊長為,翻折之后形成邊長為的菱形C′F′P′F″,且F′F″=4,然后分三種情況討論求得即可.

          本題解析:1)對于拋物線y=﹣x2+x+,

          x=0,得y=,即C(0,),D(2,),

          DH=,

          y=0,即﹣x2+x+=0,得x1=﹣1,x2=3,

          A(﹣1,0),B(3,0),

          AEAC,EHAH,

          ∴△ACO∽△EAH,

          =,即=

          解得:EH=,

          DE=2

          (2)找點C關(guān)于DE的對稱點N(4,),找點C關(guān)于AE的對稱點G(﹣2,﹣),

          連接GN,交AE于點F,交DE于點P,即G、F、P、N四點共線時,△CPF周長=CF+PF+CP=GF+PF+PN最小,

          直線GN的解析式:y=x﹣;直線AE的解析式:y=﹣x﹣,

          聯(lián)立得:F (0,﹣),P(2,),

          過點My軸的平行線交FH于點Q,

          設(shè)點M(m,﹣m2+m+),則Q(m, m﹣),(0m2);

          SMFP=SMQF+SMQP=MQ×2=MQ=﹣m2+m+,

          ∵對稱軸為:直線m=2,開口向下,

          m=時,△MPF面積有最大值: ;

          (3)由(2)可知C(0,),F(xiàn)(0,),P(2,),

          CF=,CP==,

          OC=,OA=1,

          ∴∠OCA=30°,

          FC=FG,

          ∴∠OCA=FGA=30°,

          ∴∠CFP=60°,

          ∴△CFP為等邊三角形,邊長為,

          翻折之后形成邊長為的菱形C′F′P′F″,且F′F″=4,

          1)當(dāng)K F′=KF″時,如圖3,

          KF′F″的垂直平分線上,所以KB重合,坐標(biāo)為(3,0),

          OK=3;

          2)當(dāng)F′F″=F′K時,如圖4,

          F′F″=F′K=4,

          FP的解析式為:y=x﹣,

          ∴在平移過程中,F′Kx軸的夾角為30°,

          ∵∠OAF=30°,

          F′K=F′A

          AK=4

          OK=4﹣1或者4+1;

          3)當(dāng)F″F′=F″K時,如圖5,

          ∵在平移過程中,F″F′始終與x軸夾角為60°,

          ∵∠OAF=30°,

          ∴∠AF′F″=90°,

          F″F′=F″K=4,

          AF″=8,

          AK=12,

          OK=11,

          綜上所述:OK=3,4﹣1,4+1或者11.

          練習(xí)冊系列答案
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          (1)求P點落在正方形ABCD面上(含正方形內(nèi)部和邊界)的概率.

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