Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，AC∥x軸，A、B兩點在反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象上，延長CA交y軸于點D，AD=1．

（1）求該反比例函數(shù)的解析式；

（2）將△ABC繞點B順時針旋轉得到△EBF，使點C落在x軸上的點F處，點A的對應點為E，求旋轉角的度數(shù)和點E的坐標．

Answer 1

【答案】(1) y=；(2) 旋轉角為120°, E點坐標為（2+，）

【解析】

（1）設A（1，k），再表示出B（3，k-4），則利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征得到3（k-4）=k，解方程求出k即可得到該反比例函數(shù)的解析式；
（2）作BM⊥x軸于M，EN⊥x軸于N，如圖，根據(jù)旋轉的性質得BF=BC=4，EF=AC=2，∠BFE=∠BCA=90°，∠CBF等于旋轉角，再計算出BM=CM-BC=2，則在Rt△BMF中，利用三角函數(shù)可求出∠MBF=60°，MF=,BM=，于是得到旋轉角為120°，然后證明Rt△BMF∽Rt△FNE，利用相似比求出FN和EN，從而可得到E點坐標．

解：（1）∵AC∥x軸，AD=1，

∴A（1，k），

∵∠C=90°，AC=2，BC=4，

∴B（3，k﹣4），

∵點B在y=的圖象上，

∴3（k﹣4）=k，解得k=6，

∴該反比例函數(shù)的解析式為y=；

（2）作BM⊥x軸于M，EN⊥x軸于N，如圖，

∵△ABC繞點B順時針旋轉得到△EBF，

∴BF=BC=4，EF=AC=2，∠BFE=∠BCA=90°，∠CBF等于旋轉角，

∵BC⊥x軸，A（1，6），

∴BM=CM﹣BC=6﹣4=2，

在Rt△BMF中，∵cos∠MBF===，

∴∠MBF=60°，MF=BM=，

∴∠CBF=180°﹣∠MBF=120°，

∴旋轉角為120°；

∵∠BFM+∠MBF=90°，∠BFM+∠EFN=90°，

∴∠MBF=∠EFN，

∴Rt△BMF∽Rt△FNE，

∴==，即==，

∴FN=1，EN=，

∴ON=OM+MF+FN=1++1=2+，

∴E點坐標為（2+，）．