Question

（2012•貴港）如圖，在菱形ABCD中，AB=BD，點E、F分別在BC、CD上，且BE=CF，連接BF、DE交于點M，延長ED到H使DH=BM，連接AM，AH，則以下四個結(jié)論：
①△BDF≌△DCE；②∠BMD=120°；③△AMH是等邊三角形；④S_{四邊形ABCD}=

3

4

AM²．
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根據(jù)菱形的四條邊都相等，先判定△ABD是等邊三角形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠BDF=∠C=60°，再求出DF=CE，然后利用“邊角邊”即可證明△BDF≌△DCE，從而判定①正確；根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠DBF=∠EDC，然后利用三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和可以求出∠DMF=∠BDC=60°，再根據(jù)平角等于180°即可求出∠BMD=120°，從而判定②正確；根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和以及平行線的性質(zhì)求出∠ABM=∠ADH，再利用“邊角邊”證明△ABM和△ADH全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得AH=AM，對應(yīng)角相等可得∠BAM=∠DAH，然后求出∠MAH=∠BAD=60°，從而判定出△AMH是等邊三角形，判定出③正確；根據(jù)全等三角形的面積相等可得△AMH的面積等于四邊形ABMD的面積，然后判定出④錯誤．

解答：解：在菱形ABCD中，∵AB=BD，
∴AB=BD=AD，
∴△ABD是等邊三角形，
∴根據(jù)菱形的性質(zhì)可得∠BDF=∠C=60°，
∵BE=CF，
∴BC-BE=CD-CF，
即CE=DF，
在△BDF和△DCE中，

CE=DF ∠BDF=∠C=60° BD=CD

，
∴△BDF≌△DCE（SAS），故①小題正確；
∴∠DBF=∠EDC，
∵∠DMF=∠DBF+∠BDE=∠EDC+∠BDE=∠BDC=60°，
∴∠BMD=180°-∠DMF=180°-60°=120°，故②小題正確；
∵∠DEB=∠EDC+∠C=∠EDC+60°，∠ABM=∠ABD+∠DBF=∠DBF+60°，
∴∠DEB=∠ABM，
又∵AD∥BC，
∴∠ADH=∠DEB，
∴∠ADH=∠ABM，
在△ABM和△ADH中，

AB=AD ∠ADH=∠ABM DH=BM

，
∴△ABM≌△ADH（SAS），
∴AH=AM，∠BAM=∠DAH，
∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=∠MAD+∠BAM=∠BAD=60°，
∴△AMH是等邊三角形，故③小題正確；
∵△ABM≌△ADH，
∴△AMH的面積等于四邊形ABMD的面積，
又∵△AMH的面積=

1

2

AM•

3

2

AM=

3

4

AM²，
∴S_{四邊形ABMD}=

3

4

AM²，
S_{四邊形ABCD}≠S_{四邊形ABMD}，故④小題錯誤，
綜上所述，正確的是①②③共3個．
故選C．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，題目較為復(fù)雜，特別是圖形的識別有難度，從圖形中準(zhǔn)確確定出全等三角形并找出全等的條件是解題的關(guān)鍵．