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        1. 已知關于x的二次函數(shù)y=x2+(2k-1)x+k2-1.
          (1)若關于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0的兩根的平方和等于9,求k的值,并在直角坐標系(如圖)中畫出函數(shù)y=x2+(2k-1)x+k2-1的大致圖象;
          (2)在(1)的條件下,設這個二次函數(shù)的圖象與x軸從左至右交于A、B兩點.問函數(shù)對稱軸右邊的圖象上,是否存在點M,使銳角△AMB的面積等于3.若存在,請求出點M的坐標;若不存在,請說明理由;
          (3)在(1)、(2)條件下,若P點是二次函圖象上的點,且∠PAM=90°,求△APM的面積.

          解:(1)∵所給一元二次方程有解,
          ∴根的判別式△≥0,
          即(2k-1)2-4(k2-1)≥0,
          解得k≤
          設方程的兩個根分別為x1、x2
          則x12+x22=9,
          即(x1+x22-2x1x2=9,
          又x1+x2=-(2k-1),x1•x2=k2-1,
          分別代入上式,
          解得k1=-1或k2=3,
          ∵k≤
          ∴k=-1.
          代入函數(shù)式中,得y=x2-3x,
          配方可得y=,
          即拋物線的對稱軸為x=,頂點坐標為D(,-),
          大致圖象如下(如圖);

          (2)由(1),令y=0,得x2-3x=0,
          解得x1=0,x2=3,
          ∴A(0,0),B(3,0).
          這樣的點存在.
          其坐標為M(2,-2).
          設M(xm,ym),而△AMB是銳角三角形,
          <xm<3,
          ∴ym<0.故有S△AMB===3,
          ∴|ym|=2,ym=±2,舍去正值,
          ∴ym=-2,
          當ym=-2時,xm2-3xm=-2,
          解得xm=1或xm=2,
          <xm<3,
          ∴xm=1舍去,而<2<3,
          ∴xm=2滿足條件,
          ∴這樣的點存在,其坐標為M(2,-2);

          (3)∵M(2,-2),
          ∴∠MAB=45°,
          ∴∠BAP=45°,
          ∴AP所在直線的解析式為:y=x,
          ∵P也在拋物線上,
          ∴x2-3x=x,
          解得:x1=0(舍去),x2=4,
          此時y=4,
          ∴P(4,4),可求得線段AP長=4,線段AM長=2,
          ∴S△AMP==8.
          分析:(1)利用根的判別式△≥0,求出k的取值范圍,再利用根與系數(shù)的關系即可得出k的值,從而求出二次函數(shù)的頂點坐標與對稱軸,及可得出圖象;
          (2)由(1),令y=0,得x2-3x=0,即可得出A(0,0),B(3,0),即可求出其坐標為M(2,-2);
          (3)由M(2,-2),得出∠BAP=45°,得出AP所在直線的解析式為:y=x,由因為P也在拋物線上,得出x2-3x=x,即可求出x的值.
          點評:此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的關系等知識,此題對一元二次方程考查知識較多二次函數(shù)與一元二次方程結合是比較典型題目,同學們應注意它們之間的區(qū)別于聯(lián)系.
          練習冊系列答案
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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          已知關于x的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象經(jīng)過點C(0,1),且與x軸交于不同的兩點A、B,點A的坐標是(1,0)
          (1)求c的值;
          (2)求a的取值范圍;
          (3)該二次函數(shù)的圖象與直線y=1交于C、D兩點,設A、B、C、D四點構成的四邊形的對角線相交于點P,記△PCD的面積為S1,△PAB的面積為S2,當0<a<1時,求證:S1-S2為常數(shù),并求出該常數(shù).

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

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          4
          9
          x2-
          16
          9
          x+
          2
          9

          (I)求二次函數(shù)y1的解析式;
          (II)把y2化為y2=a(x-h)2+k的形式;
          (III)將y1的圖象經(jīng)過怎樣的平移能得到y(tǒng)2的圖象.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          (2013•河東區(qū)二模)已知關于x的二次函數(shù)同時滿足下列兩個條件:①函數(shù)的圖象過原點;②頂點在第一象限,你認為符合要求的二次函數(shù)的解析式可以是:
          y=-x2+x(答案不唯一)
          y=-x2+x(答案不唯一)
          (寫出一個即可).

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          已知關于x的二次函數(shù)y=mx2-(2m-6)x+m-2.
          (1)若該函數(shù)的圖象與y軸的交點坐標是(0,3),求m的值;
          (2)若該函數(shù)圖象的對稱軸是直線x=2,求m的值.

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          科目:初中數(shù)學 來源: 題型:

          已知關于x的二次函數(shù)y=x2-(2m-1)x+m2
          (1)m滿足什么條件時,二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點?
          (2)設二次函數(shù)的圖象與x軸的交點為A(x1,0),B(x2,0),且
          x
          2
          1
          +
          x
          2
          2
          =5
          ,它的頂點為M,求頂點M的坐標.

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