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        1. 已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2+(2k-1)x+k2-1.
          (1)若關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0的兩根的平方和等于9,求k的值,并在直角坐標(biāo)系(如圖)中畫出函數(shù)y=x2+(2k-1)x+k2-1的大致圖象;
          (2)在(1)的條件下,設(shè)這個(gè)二次函數(shù)的圖象與x軸從左至右交于A、B兩點(diǎn).問函數(shù)對(duì)稱軸右邊的圖象上,是否存在點(diǎn)M,使銳角△AMB的面積等于3.若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;
          (3)在(1)、(2)條件下,若P點(diǎn)是二次函圖象上的點(diǎn),且∠PAM=90°,求△APM的面積.

          解:(1)∵所給一元二次方程有解,
          ∴根的判別式△≥0,
          即(2k-1)2-4(k2-1)≥0,
          解得k≤;
          設(shè)方程的兩個(gè)根分別為x1、x2,
          則x12+x22=9,
          即(x1+x22-2x1x2=9,
          又x1+x2=-(2k-1),x1•x2=k2-1,
          分別代入上式,
          解得k1=-1或k2=3,
          ∵k≤,
          ∴k=-1.
          代入函數(shù)式中,得y=x2-3x,
          配方可得y=,
          即拋物線的對(duì)稱軸為x=,頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(,-),
          大致圖象如下(如圖);

          (2)由(1),令y=0,得x2-3x=0,
          解得x1=0,x2=3,
          ∴A(0,0),B(3,0).
          這樣的點(diǎn)存在.
          其坐標(biāo)為M(2,-2).
          設(shè)M(xm,ym),而△AMB是銳角三角形,
          <xm<3,
          ∴ym<0.故有S△AMB===3,
          ∴|ym|=2,ym=±2,舍去正值,
          ∴ym=-2,
          當(dāng)ym=-2時(shí),xm2-3xm=-2,
          解得xm=1或xm=2,
          <xm<3,
          ∴xm=1舍去,而<2<3,
          ∴xm=2滿足條件,
          ∴這樣的點(diǎn)存在,其坐標(biāo)為M(2,-2);

          (3)∵M(jìn)(2,-2),
          ∴∠MAB=45°,
          ∴∠BAP=45°,
          ∴AP所在直線的解析式為:y=x,
          ∵P也在拋物線上,
          ∴x2-3x=x,
          解得:x1=0(舍去),x2=4,
          此時(shí)y=4,
          ∴P(4,4),可求得線段AP長(zhǎng)=4,線段AM長(zhǎng)=2,
          ∴S△AMP==8.
          分析:(1)利用根的判別式△≥0,求出k的取值范圍,再利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出k的值,從而求出二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸,及可得出圖象;
          (2)由(1),令y=0,得x2-3x=0,即可得出A(0,0),B(3,0),即可求出其坐標(biāo)為M(2,-2);
          (3)由M(2,-2),得出∠BAP=45°,得出AP所在直線的解析式為:y=x,由因?yàn)镻也在拋物線上,得出x2-3x=x,即可求出x的值.
          點(diǎn)評(píng):此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及一元二次方程根的判別式與根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí),此題對(duì)一元二次方程考查知識(shí)較多二次函數(shù)與一元二次方程結(jié)合是比較典型題目,同學(xué)們應(yīng)注意它們之間的區(qū)別于聯(lián)系.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a>0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C(0,1),且與x軸交于不同的兩點(diǎn)A、B,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,0)
          (1)求c的值;
          (2)求a的取值范圍;
          (3)該二次函數(shù)的圖象與直線y=1交于C、D兩點(diǎn),設(shè)A、B、C、D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的對(duì)角線相交于點(diǎn)P,記△PCD的面積為S1,△PAB的面積為S2,當(dāng)0<a<1時(shí),求證:S1-S2為常數(shù),并求出該常數(shù).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1和y2,其中y1的圖象開口向下,與x軸交于點(diǎn)A(-2,0)和點(diǎn)B(4,0),對(duì)稱軸平行于y軸,其頂點(diǎn)M與點(diǎn)B的距離為5,而y2=-
          4
          9
          x2-
          16
          9
          x+
          2
          9

          (I)求二次函數(shù)y1的解析式;
          (II)把y2化為y2=a(x-h)2+k的形式;
          (III)將y1的圖象經(jīng)過怎樣的平移能得到y(tǒng)2的圖象.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2013•河?xùn)|區(qū)二模)已知關(guān)于x的二次函數(shù)同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件:①函數(shù)的圖象過原點(diǎn);②頂點(diǎn)在第一象限,你認(rèn)為符合要求的二次函數(shù)的解析式可以是:
          y=-x2+x(答案不唯一)
          y=-x2+x(答案不唯一)
          (寫出一個(gè)即可).

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=mx2-(2m-6)x+m-2.
          (1)若該函數(shù)的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是(0,3),求m的值;
          (2)若該函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是直線x=2,求m的值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=x2-(2m-1)x+m2
          (1)m滿足什么條件時(shí),二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)?
          (2)設(shè)二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)為A(x1,0),B(x2,0),且
          x
          2
          1
          +
          x
          2
          2
          =5
          ,它的頂點(diǎn)為M,求頂點(diǎn)M的坐標(biāo).

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          同步練習(xí)冊(cè)答案