Question

如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C（1，1），直線y=kx+m的圖象與該二次函數(shù)的圖象交于A、B兩點(diǎn)，其中A點(diǎn)坐標(biāo)為（

5

2

，

13

4

），B點(diǎn)在y軸上，直線與x軸的交點(diǎn)為F，P為線段AB上的一個(gè)動點(diǎn)（點(diǎn)P與A、B不重合），過P作x軸的垂線與這個(gè)二次函數(shù)的圖象交于E點(diǎn)．
（1）求k，m的值及這個(gè)二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)線段PE的長為h，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求h與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）D為直線AB與這個(gè)二次函數(shù)圖象對稱軸的交點(diǎn)，在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使得以點(diǎn)P、E、D為頂點(diǎn)的三角形與△BOF相似？若存在，請求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）設(shè)拋物線解析式為y=a（x-1）²+1
∵A(

5

2

，

13

4

)在拋物線上
∴

13

4

=a（

5

2

-1）²+1
∴a=1
∴二次函數(shù)解析式為y=（x-1）²+1（或y=x²-2x+2）
令x=0得：y=2
即B（0，2）在y=kx+m上
∴m=2
把(

5

2

，

13

4

)代入y=kx+2，
得k=

1

2

；

（2）h=

1

2

x+2-（x-1）²-1
=-x²+

5

2

x（0＜x＜

5

2

）；

（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，①當(dāng)∠PED=∠BOF=90°時(shí)，由題意可得△PED∽△BOF
則

-x2+ 5 2 x

2

=

x-1

4

∴x=

2± 6

2

，
∵0＜x＜

5

2

，
∴x=

2- 6

2

（舍去）
而x=

2+ 6

2

＜

5

2

∴存在點(diǎn)P，其坐標(biāo)為(

2+ 6

2

，

10+ 6

4

)
②當(dāng)∠PDE=∠BOF=90°時(shí)，
過點(diǎn)E作EK垂直于拋物線的對稱軸，垂足為K．
由題意可得：△PDE∽△EKD，△PDE∽△BOF
∴△EKD∽△BOF
則

5 2 -(x2-2x+2)

4

=

x-1

2

∴x=±

10

2

．
∵0＜x＜

5

2

，x=-

10

2

舍去
而x=

10

2

＜

5

2

，
∴存在點(diǎn)P，其坐標(biāo)為(

10

2

，

8+ 10

4

)
綜上所述存在點(diǎn)P滿足條件，其坐標(biāo)為
(

2+ 6

2

，

10+ 6

4

)，(

10

2

，

8+ 10

4

)．