Question

如圖,為⊙的直徑,與⊙相切于點(diǎn),與⊙相切于點(diǎn),點(diǎn)為延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且CE=CB．

(1)求證：為⊙的切線;
(2)若,求線段BC的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明見(jiàn)解析;（2）BC=．

試題分析：（1）因?yàn)锽C經(jīng)過(guò)圓的半徑的外端,只要證明AB⊥BC即可．連接OE、OC,利用△OBC≌△OEC,得到∠OBC=90°即可證明BC為⊙O的切線．
（2）作DF⊥BC于點(diǎn)F,構(gòu)造Rt△DFC,利用勾股定理解答即可．
試題解析：（1）連接OE、OC．

∵CB=CE,OB=OE,OC=OC,
∴△OBC≌△OEC．
∴∠OBC=∠OEC．
又∵DE與⊙O相切于點(diǎn)E,
∴∠OEC=90°．
∴∠OBC=90°．
∴BC為⊙O的切線．
（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F,則四邊形ABFD是矩形,BF=AD=2,DF=AB=2．
∵AD、DC、BC分別切⊙O于點(diǎn)A、E、B,
∴DA=DE,CE=CB．
設(shè)BC為x,則CF=x﹣2,DC=x+2．
在Rt△DFC中,（x+2）²﹣（x﹣2）²=（2）²,解得x=．
∴BC=．