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        1. 問題:已知方程,求一個(gè)一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的2倍。
          解:設(shè)所求方程的根為y,則y=2x,所以
          代入已知方程,得
          化簡,得:
          故所求方程為
          這種利用方程根的代換求新方程的方法,我們稱為“換根法”。請閱讀材料提供的“換根法”求新方程(要求:把所求方程化成一般形式)
          (1)已知方程,求一個(gè)一元二次方程,使它的根分別是已知方程根的相反數(shù),則所求方程為:
                    ;
          (2)已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個(gè)不等于零的實(shí)數(shù)根,求一個(gè)一元二方程,使它的根分別是已知方程的倒數(shù)。

          (1)y2-y-2=0(2)cy2+by+a=0(c≠0)

          解析

          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

          閱讀下列范例,按要求解答問題.
          例:已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b+2c=1,a2+b2+6c+
          3
          2
          =0,求a、b、c的值.
          解法1:由已知得a+b=1-2c,①(a+b)2-2ab+6c+
          3
          2
          =0.②
          將①代入②,整理得4c2+2c-2ab+
          5
          2
          =0.∴ab=2c2+c+
          5
          4

          由①、③可知,a、b是關(guān)于t的方程t2-(1-2c)t+2c2+c+
          5
          4
          =0④的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
          ∴△=(1-2c)2-4(2c2+c+
          5
          4
          ≥0,即(c+1)2≤0.而(c+1)2≥0,∴c+l=0,c=-1,
          將c=-1代入④,得t2-3t+
          9
          4
          =0.∴t1=t2=
          3
          2
          ,即a=b=
          3
          2
          .∴a=b,c=-1.
          解法2∵a+b+2c=1,∴a+b=1-2c、設(shè)a=
          1-2c
          2
          +t,b=
          1-2c
          2
          -t.①
          ∵a2+b2+6c+
          3
          2
          =0,∴(a+b)2-2ab+6c+
          3
          2
          =0.②
          將①代入②,得(1-2c)2-2(
          1-2c
          2
          +t)(
          1-2c
          2
          -t)
          +6c+
          3
          2
          =0.
          整理,得t2+(c2+2c+1)=0,即t2+(c+1)2=0.∴t=0,c=-1.
          將t、c的值同時(shí)代入①,得a=
          3
          2
          ,b=
          3
          2
          .a(chǎn)=b=
          3
          2
          ,c=-1.
          以上解法1是構(gòu)造一元二次方程解決問題.若兩實(shí)數(shù)x、y滿足x+y=m,xy=n,則x、y是關(guān)于t的一元二次方程t2-mt+n=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根,然后利用判別式求解.
          以上解法2是采用均值換元解決問題.若實(shí)數(shù)x、y滿足x+y=m,則可設(shè)x=
          m
          2
          +t,y=
          m
          2
          -t.一些問題根據(jù)條件,若合理運(yùn)用這種換元技巧,則能使問題順利解決.
          下面給出兩個(gè)問題,解答其中任意一題:
          (1)用另一種方法解答范例中的問題.
          (2)選用范例中的一種方法解答下列問題:
          已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a+b+c=6,a2+b2+c2=12,求證:a=b=c.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

          閱讀下面一段文字:“一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情況有三種:
          ①當(dāng)b2-4ac>0時(shí),方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根;
          ②當(dāng)b2-4ac=0時(shí),方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;
          ③當(dāng)b2-4ac<0時(shí),方程沒有實(shí)數(shù)根.”請利用以上結(jié)論,解答下面的問題:
          已知關(guān)于x的一元二次方程x2-(2k+1)x+4(k-
          12
          )=0.
          (1)判斷這個(gè)一元二次方程的根的情況;
          (2)若等腰三角形的一邊長為4,另兩條邊的長恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根,求這個(gè)等腰三角形的周長.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          23、完成表格,觀察表格中的兩個(gè)根的和與積,它們與原來的方程的系數(shù)有什么關(guān)系?
          方程 x1 x2 x1+x2 x1x2
          x2-2x=0 0 2
          2
          0
          x2+3x-4=0 -4 1
          -3
          -4
          x2-5x+6=0 2 3
          5
          6
          (1)請用文字語言概括你的發(fā)現(xiàn).
          若二次項(xiàng)系數(shù)為1,常用以下關(guān)系:x1,x2是方程x2+px+q=0的兩根時(shí),x1+x2=-p,x1x2=q

          (2)一般的,對于關(guān)于x的方程x2+px+q=0(p、q為常數(shù),p2-4q≥0)的兩根為x1,x2,則x1+x2=
          -p
          ,x1x2=
          q

          (3)運(yùn)用以上發(fā)現(xiàn)解決下列問題:已知x1,x2是方程x2-x-3=0的兩根,求代數(shù)式(1+x1)(1+x2)的值.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:閱讀理解

          請先閱讀下面的解題過程,再完成后面的問題.
          已知方程x2+3x+1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為α,β,求
          α
          β
          +
          β
          α
          的值.
          解:因?yàn)椤?32-4×1=5>0,所以α≠β.…①
          由根與系數(shù)的關(guān)系,得α+β=-3,αβ=1.….②
          所以
          α
          β
          +
          β
          α
          =
          α
          β
          +
          β
          α
          =
          α+β
          αβ
          =
          -3
          1
          =-3
          .…③
          上面的解題過程是否正確?若不正確,指出錯(cuò)在哪一步,并寫出正確的解題過程.

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          科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          探究發(fā)現(xiàn):
          解下列方程,將得到的解填入下面的表格中,觀察表格中兩個(gè)解的和與積,它們和原來的方程的系數(shù)有什么聯(lián)系?
          (1)x2-2x=0(2)x2+3x-4=0(3)x2-5x+6=0
          方  程 x1 x2 x1+x2 x1•x2
          (1)
          (2)
          (3)
          (1)請用文字語言概括你的發(fā)現(xiàn).
          (2)一般的,對于關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩根為x1、x2,則x1+x2=
          -p
          -p
          ,x1•x2
          q
          q

          (3)運(yùn)用以上發(fā)現(xiàn),解決下面的問題:
          ①已知一元二次方程x2-2x-7=0的兩個(gè)根為x1,x2,則x1+x2的值為
          B
          B

          A.-2     B.2     C.-7     D.7
          ②已知x1,x2是方程x2-x-3=0的兩根,試求(1+x1)(1+x2)和x12+x22的值.

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          同步練習(xí)冊答案