Question

如圖，C為線段AB上一動點，過A作AD⊥AB且AD=3，過B作BE⊥AB且BE=1，連接DC、EC，若AB=5，設AC=x．
（1）DC+EC的長為

 

（用含x的式子表示，不必化簡）；
（2）當點C的位置滿足

 

時，DC+EC的長最小，最小值是

 

；
（3）根據(jù)以上結論，你能通過構圖求出

x2+4

+

(4-x)2+25

的最小值嗎？請畫出你的示意圖，適當加以說明并求出此最小值．

Answer 1

分析：（1）表示出BC的長度，然后分別在Rt△ACD與Rt△BCE中利用勾股定理求出DC與EC的長度，相加即可；
（2）根據(jù)兩點之間線段最短，當點C、D、E在同一直線時，DC+EC的長最小，此時△ACD與△BCE相似，根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式即可求出x的值，再代入進行計算即可求解；
（3）根據(jù)（2）的求解思路畫出示意圖并利用相似三角形對應邊成比例列式求解即可．

解答：解：（1）∵AB=5，AC=x，
∴BC=5-x，
∵AD=3，BE=1，
∴DC=

AD2+AC2

=

32+x2

，
EC=

BE2+EC2

=

12+(5-x)2

，
∴DC+EC的長為：

32+x2

+

12+(5-x)2

；

（2）如圖，根據(jù)兩點之間線段最短可知，當點C、D、E在同一直線時，DC+EC的長最小，
此時，∠ACD=∠BCE（對頂角相等），
∠A=∠B=90°（垂直定義），
∴△ACD∽△BCE，
∴

AD

BE

=

AC

BC

，
即

3

1

=

x

5-x

，
解得x=

15

4

，
此時，DC+EC=

32+x2

+

12+(5-x)2

=

32+( 15 4 )2

+

1+(5- 15 4 )2

=

41

；

（3）如圖所示，
根據(jù)（2）中的求解思路，
當

2

5

=

x

4-x

時，
即x=

8

7

時，

x2+4

+

(4-x)2+25

有最小值，
此時

x2+4

+

(4-x)2+25

=

(5+2)2+42

=

65

．

點評：本題考查了利用軸對稱求最短路線的問題，根據(jù)兩點之間線段最短的性質(zhì)以及相似三角形對應邊成比例列式是解題的關鍵．