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        1. 【題目】已知:如圖,在△ABC中,D是AB邊上一點,圓O過D、B、C三點,∠DOC=2∠ACD=90°.

          (1)求證:直線AC是圓O的切線;
          (2)如果∠ACB=75°,圓O的半徑為2,求BD的長.

          【答案】
          (1)證明:∵OD=OC,∠DOC=90°,

          ∴∠ODC=∠OCD=45°.

          ∵∠DOC=2∠ACD=90°,

          ∴∠ACD=45°.

          ∴∠ACD+∠OCD=∠OCA=90°.

          ∵點C在圓O上,

          ∴直線AC是圓O的切線


          (2)解:方法1:∵OD=OC=2,∠DOC=90°,

          ∴CD=2

          ∵∠ACB=75°,∠ACD=45°,

          ∴∠BCD=30°,

          作DE⊥BC于點E,

          則∠DEC=90°,

          ∴DE=DCsin30°=

          ∵∠B=45°,

          ∴DB=2.

          方法2:連接BO

          ∵∠ACB=75°,∠ACD=45°,

          ∴∠BCD=30°,∴∠BOD=60°

          ∵OD=OB=2

          ∴△BOD是等邊三角形

          ∴BD=OD=2.


          【解析】(1)由題意可知△DOC為等腰直角三角形,故此可得到∠DCO=45°,然后依據(jù)題意可求得∠ACD=45°,從而得到∠OCA=90°;
          (2)連接OB,先求得∠BCO=15°,故此可得到∠BCD=30,然后依據(jù)圓周角定理可得到∠DOB=60,從而可證明△BOD為等邊三角形.
          【考點精析】解答此題的關鍵在于理解切線的判定定理的相關知識,掌握切線的判定方法:經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

          練習冊系列答案
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