Question

如圖，矩形OABC的長(zhǎng)OA=

3

，寬OC=1，將△AOC沿AC翻折得△APC．
（1）填空：∠PCB=______度，P點(diǎn)坐標(biāo)為______；
（2）若P、A兩點(diǎn)在拋物線y=-

4

3

x2+bx+c上，求b，c的值；
（3）若直線y=kx+m平行于CP，且于（2）中的拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，求k，m的值；
（4）在（2）中拋物線CP段（不包括C，P點(diǎn)）上，是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形MCAP的面積最大？若存在求此時(shí)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

（1）過點(diǎn)P作PG⊥x軸交CB于G．
tan∠CAO=

OC

OA

=

3

3

，
∴∠CAO=30°，
∴PCA=60°，
又∵∠ACB=30°，
∴∠PCB=30°，
在RT△PCM中，PG=

1

2

PC=

1

2

OC=

1

2

，GC=

3

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

2

，

3

2

）．
綜上可得：∠PCB=30°，P點(diǎn)坐標(biāo)為（

3

2

，

3

2

）．

（2）把P(

3

2

，

3

2

)與A(

3

，0)分別代入y=-

4

3

x2+bx+c，
解得：b=

3

，c=1，
∴y=-

4

3

x2+

3

x+1，

（3）由P(

3

2

，

3

2

)，C（0，1）可得直線CP：y=

3

3

x+1，
∵直線y=kx+m平行于CP，
∴k=

3

3

，
∵y=

3

3

x+m與y=-

4

3

x2+

3

x+1只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴-

4

3

x2+

3

x+1=

3

3

x+m有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)根(

2 3

3

)2-4×

4

3

×(m-1)=0，
解得：m=

5

4

；…（3分）

（4）假設(shè)存在這樣的點(diǎn)M，使得四邊形MCAP的面積最大．
∵△ACP面積為定值，
∴要使四邊形MCAP的面積最大，只需使△PCM的面積最大．
過點(diǎn)M作MF⊥x軸分別交CP、CB和x軸于E、N和F，過點(diǎn)P作PG⊥x軸交CB于G．

S_△CMP=s_△CME+S_△PME=

1

2

ME•CG=

3

4

ME
設(shè)M（x₀，y₀），
∵∠ECN=30°，CN=x₀，
∴EN=

3

3

x₀
∴ME=MF-EF=-

4

3

x₀²+

2 3

3

x₀
∴S_△CMP=-

3

3

x₀²+

1

2

x
∵a=-

3

3

＜0，
∴S有最大值．
當(dāng)x₀=

3

4

時(shí)，S的最大值是

3

16

，
∵S_△MCAP=S_△CPM+S_△ACP
∴四邊形MCAP的面積的最大值為

9 3

16

此時(shí)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（

3

4

，

3

2

）
所以存在這樣的點(diǎn)M（

3

4

，

3

2

），使得四邊形MCAP的面積最大，其最大值為

9 3

16

．