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        1. 精英家教網 > 初中數學 > 題目詳情
          如圖,矩形OABC的長OA=
          3
          ,寬OC=1,將△AOC沿AC翻折得△APC.
          (1)填空:∠PCB=______度,P點坐標為______;
          (2)若P、A兩點在拋物線y=-
          4
          3
          x2+bx+c
          上,求b,c的值;
          (3)若直線y=kx+m平行于CP,且于(2)中的拋物線有且只有一個交點,求k,m的值;
          (4)在(2)中拋物線CP段(不包括C,P點)上,是否存在一點M,使得四邊形MCAP的面積最大?若存在求此時M的坐標;若不存在,請說明理由.
          (1)過點P作PG⊥x軸交CB于G.
          tan∠CAO=
          OC
          OA
          =
          3
          3
          ,
          ∴∠CAO=30°,
          ∴PCA=60°,
          又∵∠ACB=30°,
          ∴∠PCB=30°,
          在RT△PCM中,PG=
          1
          2
          PC=
          1
          2
          OC=
          1
          2
          ,GC=
          3
          2

          ∴點P的坐標為(
          3
          2
          ,
          3
          2
          ).
          綜上可得:∠PCB=30°,P點坐標為(
          3
          2
          ,
          3
          2
          ).

          (2)把P(
          3
          2
          ,
          3
          2
          )
          與A(
          3
          ,0)
          分別代入y=-
          4
          3
          x2+bx+c
          ,
          解得:b=
          3
          ,c=1,
          y=-
          4
          3
          x2+
          3
          x+1


          (3)由P(
          3
          2
          3
          2
          )
          ,C(0,1)可得直線CP:y=
          3
          3
          x+1
          ,
          ∵直線y=kx+m平行于CP,
          k=
          3
          3
          ,
          y=
          3
          3
          x+m
          y=-
          4
          3
          x2+
          3
          x+1
          只有一個交點,
          -
          4
          3
          x2+
          3
          x+1=
          3
          3
          x+m
          有兩個相同的實數根(
          2
          3
          3
          )2-4×
          4
          3
          ×(m-1)=0
          ,
          解得:m=
          5
          4
          ;…(3分)

          (4)假設存在這樣的點M,使得四邊形MCAP的面積最大.
          ∵△ACP面積為定值,
          ∴要使四邊形MCAP的面積最大,只需使△PCM的面積最大.
          過點M作MF⊥x軸分別交CP、CB和x軸于E、N和F,過點P作PG⊥x軸交CB于G.

          S△CMP=s△CME+S△PME=
          1
          2
          ME•CG=
          3
          4
          ME
          設M(x0,y0),
          ∵∠ECN=30°,CN=x0,
          ∴EN=
          3
          3
          x0
          ∴ME=MF-EF=-
          4
          3
          x02+
          2
          3
          3
          x0
          ∴S△CMP=-
          3
          3
          x02+
          1
          2
          x
          ∵a=-
          3
          3
          <0,
          ∴S有最大值.
          當x0=
          3
          4
          時,S的最大值是
          3
          16

          ∵S△MCAP=S△CPM+S△ACP
          ∴四邊形MCAP的面積的最大值為
          9
          3
          16

          此時M點的坐標為(
          3
          4
          ,
          3
          2

          所以存在這樣的點M(
          3
          4
          3
          2
          ),使得四邊形MCAP的面積最大,其最大值為
          9
          3
          16
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          (2)如圖③,在△ABC中,AE是角平分線,且∠C=2∠B.
          求證:AB=AC+CE.

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          A.2000個B.1000個C.200個D.100個

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