Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y=﹣ x+1的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B，以線段AB為邊在第一象限作等邊△ABC．

（1）若點(diǎn)C在反比例函數(shù)y= 的圖象上，求該反比例函數(shù)的解析式；
（2）點(diǎn)P（2 ，m）在第一象限，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D，當(dāng)△PAD與△OAB相似時(shí)，P點(diǎn)是否在（1）中反比例函數(shù)圖象上？如果在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；如果不在，請加以說明．

Answer 1

【答案】
（1）

解：在y=﹣ x+1中，令y=0可解得x= ，令x=0可得y=1，

∴A（ ，0），B（0，1），

∴tan∠BAO= = = ，

∴∠BAO=30°，

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠BAC=60°，

∴∠CAO=90°，

在Rt△BOA中，由勾股定理可得AB=2，

∴AC=2，

∴C（ ，2），

∵點(diǎn)C在反比例函數(shù)y= 的圖象上，

∴k=2× =2 ，

∴反比例函數(shù)解析式為y=

（2）

解：∵P（2 ，m）在第一象限，

∴AD=OD﹣OA=2 ﹣ = ，PD=m，

當(dāng)△ADP∽△AOB時(shí)，則有 = ，即 = ，解得m=1，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2 ，1）；

當(dāng)△PDA∽△AOB時(shí)，則有 = ，即 = ，解得m=3，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2 ，3）；

把P（2 ，3）代入y= 可得3≠ ，

∴P（2 ，3）不在反比例函數(shù)圖象上，

把P（2 ，1）代入反比例函數(shù)解析式得1= ，

∴P（2 ，1）在反比例函數(shù)圖象上；

綜上可知P點(diǎn)坐標(biāo)為（2 ，1）

【解析】（1）由直線解析式可求得A、B坐標(biāo)，在Rt△AOB中，利用三角函數(shù)定義可求得∠BAO=30°，且可求得AB的長，從而可求得CA⊥OA，則可求得C點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得反比例函數(shù)解析式；（2）分△PAD∽△ABO和△PAD∽△BAO兩種情況，分別利用相似三角形的性質(zhì)可求得m的值，可求得P點(diǎn)坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解析式進(jìn)行驗(yàn)證即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了一次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握一般地，一次函數(shù)y=kx+b有下列性質(zhì)：（1）當(dāng)k>0時(shí)，y隨x的增大而增大（2）當(dāng)k<0時(shí)，y隨x的增大而減小才能正確解答此題．