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        1. 【題目】如圖,點(diǎn)A在⊙O上,點(diǎn)P是⊙O外一點(diǎn),PA切⊙O于點(diǎn)A,連接OP交⊙O于點(diǎn)D,作AB⊥OP于點(diǎn)C,交⊙O于點(diǎn)B,連接PB.

          (1)求證:PB是⊙O的切線;

          (2)若PC=9,AB=6

          ①求圖中陰影部分的面積;

          ②若點(diǎn)E是⊙O上一點(diǎn),連接AE,BE,當(dāng)AE=6 時(shí),BE=   

          【答案】(1)證明見解析;(2)①S陰影= 18﹣6π;②3﹣3 或3+3

          【解析】試題分析:(1)由PA切⊙O于點(diǎn)A得:∠PAO=90°,再證明△APO≌△BPO,所以∠PBO=∠PAO=90°,可得結(jié)論;

          (2)①先根據(jù)垂徑定理得:BC=3,根據(jù)勾股定理求圓的半徑OB的長(zhǎng),利用三角函數(shù)得:∠COB=60°,利用三角形的面積公式和扇形的面積公式分別求S△OPB和S扇形DOB的值,最后利用面積差得結(jié)論;

          ②②分兩種情況:

          i)當(dāng)點(diǎn)E在 上時(shí),如圖2,作輔助線,構(gòu)建直角三角形和等腰直角三角形,利用同弧所對(duì)的圓周角與半徑及勾股定理分別計(jì)算EH和BH的長(zhǎng),相加即可得BE的長(zhǎng);

          ii)當(dāng)點(diǎn)E在劣弧上時(shí),如圖3,作輔助線,同理計(jì)算EH和BH的長(zhǎng),最后利用勾股定理求BE的長(zhǎng).

          試題解析:(1)如圖1,連接OB,

          ∵OP⊥AB,OP經(jīng)過圓心O,∴AC=BC,∴OP垂直平分AB,∴AP=BP,

          ∵OA=OB,OP=OP,∴△APO≌△BPO(SSS),∴∠PAO=∠PBO,

          ∵PA切⊙O于點(diǎn)A,∴AP⊥OA,∴∠PAO=90°,∴∠PBO=∠PAO=90°,∴OB⊥BP,

          又∵點(diǎn)B在⊙O上,∴PB與⊙O相切于點(diǎn)B;

          (2)①如圖1,∵OP⊥AB,OP經(jīng)過圓心O,∴BC=AB=3

          ∵∠PBO=∠BCO=90°,∴∠PBC+∠OBC=∠OBC+∠BOC=90°,∴∠PBC=∠BOC,∴△PBC∽△BOC,

          ,∴OC== =3,

          ∴在Rt△OCB中,OB= = =6,tan∠COB= =

          ∴∠COB=60°,

          ∴S△OPB=×OP×BC=×(3+9)×3=18,S扇DOB= =6π,

          ∴S陰影=S△OPB﹣S扇DOB=18﹣6π;

          ②分兩種情況:

          i)當(dāng)點(diǎn)E在上時(shí),如圖2,作直徑AF,交⊙O于F,連接EF、EB,過O作OG⊥AE于G,過F作FH⊥EB于H,∴EG=AG=AE=×6=3,

          ∵∠AOB=120°,OA=OB,∴∠OAB=30°,∴∠BEF=∠OAB=30°,

          Rt△OGE中,由①知:OA=6,∴OG= = =3,∴AG=OG,

          ∴△OGA是等腰直角三角形,∴∠OAE=45°,∴∠EBF=∠OAE=45°,

          ∵AF是⊙O的直徑,∴∠AEF=90°,∴△AEF是等腰直角三角形,∴EF=AE=6,

          Rt△EHF中,∠BEF=30°,∴FH=EF=3,

          ∴EH= = =3

          Rt△BHF中,∵∠EBF=45°,∴△BHF是等腰直角三角形,∴BH=FH=3

          ∴BE=3+3,

          ii)當(dāng)點(diǎn)E在劣弧上時(shí),如圖3,

          作直徑AF,并⊙O于F,連接OB、OE、BF,過B作BH⊥OE于H,

          ∵AF為⊙O的直徑,∴∠ABF=90°,

          ∵∠BAF=30°,∴∠F=∠BOF=60°,

          ∵OA=OE=6,AE=6,∴OA2+OE2=AE2,∴∠AOE=90°,∴∠EOF=90°,∴∠EOB=30°,

          Rt△OHB中,BH=OB=3,∴OH==3,∴EH=6﹣3,

          ∴BE= = =3﹣3;

          綜上所述,BE的長(zhǎng)為3+3或3﹣3;

          故答案為:3﹣3 或3+3

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          A.140
          B.120
          C.160
          D.100

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          A. A B. B C. C D. D

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          A. B. C. D.

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