Question

【題目】將邊長(zhǎng)OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，頂點(diǎn)C、A分別在軸和y軸上.在OA邊上選取適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E，連接CE，將△EOC沿CE折疊.

（1）如圖①，當(dāng)點(diǎn)O落在AB邊上的點(diǎn)D處時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為 ；

（2）如圖②，當(dāng)點(diǎn)O落在矩形OABC內(nèi)部的點(diǎn)D處時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EG∥軸交CD于點(diǎn)H，交BC于點(diǎn)G. 求證：EH＝CH；

（3）如圖③，將矩形OABC變?yōu)檎�方形�?/span>OC＝10，當(dāng)點(diǎn)E為AO中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)O落在正方形OABC內(nèi)部的點(diǎn)D處，延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)T，求此時(shí)AT的長(zhǎng)度.

Answer 1

【答案】（1）（0，5）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）2.5.

【解析】試題分析：（1）根據(jù)翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理得出BD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出AE，EO的長(zhǎng)即可得出答案；

（2）利用平行線(xiàn)的性質(zhì)以及等角對(duì)等邊得出答案即可；

（3）首先得出Rt△ATE≌Rt△DTE進(jìn)而得出AT=DT．設(shè)AT=x，則BT=10-x，TC=10+x，在Rt△BTC中，BT2+BC2=TC2，求出即可．

試題解析：（1）∵將邊長(zhǎng)OA=8，OC=10的矩形OABC放在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O落在A(yíng)B邊上的點(diǎn)D處，

∴OC=DC=10，

∵BC=8，

∴BD==6，

∴AD=10-6=4，

設(shè)AE=x，則EO=8-x，

∴x2+42=（8-x）2，

解得：x=3，

∴AE=3，

則EO=8-3=5，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（0，5），

故答案為：（0，5）；

（2）∵EG∥x軸，∴∠OCE＝∠CEH，

由折疊可知∠OCE＝∠ECH，

∴∠CEH＝∠ECH，

∴EH＝CH；

（3）連接ET，

由題意可知，ED＝EO，ED⊥TC，DC＝OC＝10，

∵E是AO中點(diǎn)，∴AE＝EO，

∴AE＝ED，

在Rt△ATE和Rt△DTE中，

，

∴Rt△ATE≌Rt△DTE（HL），

∴AT＝DT，

設(shè)，則， ，

在Rt△BTC中， ,

即，

解得，即.