【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,A(a,0)是x軸正半軸上一點(diǎn),C是第四象限一點(diǎn),CB⊥y軸,交y軸負(fù)半軸于B(0,b),且(a-3)2+|b+4|=0,S四邊形AOBC=16.
(1)求C點(diǎn)坐標(biāo);
(2)如圖2,設(shè)D為線段OB上一動點(diǎn),當(dāng)AD⊥AC時(shí),∠ODA的角平分線與∠CAE的角平分線的反向延長線交于點(diǎn)P,求∠APD的度數(shù).
(3)如圖3,當(dāng)D點(diǎn)在線段OB上運(yùn)動時(shí),作DM⊥AD交BC于M點(diǎn),∠BMD、∠DAO的平分線交于N點(diǎn),則D點(diǎn)在運(yùn)動過程中,∠N的大小是否變化?若不變,求出其值,若變化,說明理由.
【答案】(1) C(5,﹣4);(2)90°;(3)見解析.
【解析】(1)利用非負(fù)數(shù)的和為零,各項(xiàng)分別為零,求出a,b即可;
(2)用同角的余角相等和角平分線的意義即可;
(3)利用角平分線的意義和互余兩角的關(guān)系簡單計(jì)算證明即可.
(1)∵(a﹣3)2+|b+4|=0,
∴a﹣3=0,b+4=0,
∴a=3,b=﹣4,
∴A(3,0),B(0,﹣4),
∴OA=3,OB=4,
∵S四邊形AOBC=16.
∴0.5(OA+BC)×OB=16,
∴0.5(3+BC)×4=16,
∴BC=5,
∵C是第四象限一點(diǎn),CB⊥y軸,
∴C(5,﹣4);
(2)如圖,
延長CA,∵AF是∠CAE的角平分線,
∴∠CAF=0.5∠CAE,
∵∠CAE=∠OAG,
∴∠CAF=0.5∠OAG,
∵AD⊥AC,
∴∠DAO+∠OAG=∠PAD+∠PAG=90°,
∵∠AOD=90°,
∴∠DAO+∠ADO=90°,
∴∠ADO=∠OAG,
∴∠CAF=0.5∠ADO,
∵DP是∠ODA的角平分線,
∴∠ADO=2∠ADP,
∴∠CAF=∠ADP,
∵∠CAF=∠PAG,
∴∠PAG=∠ADP,
∴∠APD=180°﹣(∠ADP+∠PAD)=180°﹣(∠PAG+∠PAD)=180°﹣90°=90°
即:∠APD=90°
(3)不變,∠ANM=45°理由:如圖,
∵∠AOD=90°,
∴∠ADO+∠DAO=90°,
∵DM⊥AD,
∴∠ADO+∠BDM=90°,
∴∠DAO=∠BDM,
∵NA是∠OAD的平分線,
∴∠DAN=0.5∠DAO=0.5∠BDM,
∵CB⊥y軸,
∴∠BDM+∠BMD=90°,
∴∠DAN=0.5(90°﹣∠BMD),
∵MN是∠BMD的角平分線,
∴∠DMN=0.5∠BMD,
∴∠DAN+∠DMN=0.5(90°﹣∠BMD)+0.5∠BMD=45°
在△DAM中,∠ADM=90°,
∴∠DAM+∠DMA=90°,
在△AMN中,
∠ANM=180°﹣(∠NAM+∠NMA)=180°﹣(∠DAN+∠DAM+∠DMN+∠DMA)=180°﹣[(∠DAN+DMN)+(∠DAM+∠DMA)] =180°﹣(45°+90°)=45°,
∴D點(diǎn)在運(yùn)動過程中,∠N的大小不變,求出其值為45°
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(背景知識)
數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具,利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美結(jié)合.研究數(shù)軸我們發(fā)現(xiàn)有許多重要的規(guī)律:
例如,若數(shù)軸上點(diǎn)、
點(diǎn)表示的數(shù)分別為
、
,則
、
兩點(diǎn)之間的距離
,線段
的中點(diǎn)
表示的數(shù)為
.
(問題情境)
在數(shù)軸上,點(diǎn)表示的數(shù)為-20,點(diǎn)
表示的數(shù)為10,動點(diǎn)
從點(diǎn)
出發(fā)沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動,同時(shí),動點(diǎn)
也從點(diǎn)
出發(fā)沿?cái)?shù)軸負(fù)方向運(yùn)動,已知運(yùn)動到4秒鐘時(shí),
、
兩點(diǎn)相遇,且動點(diǎn)
、
運(yùn)動的速度之比是
(速度單位:單位長度/秒).
備用圖
(綜合運(yùn)用)
(1)點(diǎn)的運(yùn)動速度為______單位長度/秒,點(diǎn)
的運(yùn)動速度為______單位長度/秒;
(2)當(dāng)時(shí),求運(yùn)動時(shí)間;
(3)若點(diǎn)、
在相遇后繼續(xù)以原來的速度在數(shù)軸上運(yùn)動,但運(yùn)動的方向不限,我們發(fā)現(xiàn):隨著動點(diǎn)
、
的運(yùn)動,線段
的中點(diǎn)
也隨著運(yùn)動.問點(diǎn)
能否與原點(diǎn)重合?若能,求出從
、
相遇起經(jīng)過的運(yùn)動時(shí)間,并直接寫出點(diǎn)
的運(yùn)動方向和運(yùn)動速度;若不能,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合題。
(1)如圖1,已知∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC=6,CD=CE,AE=3,∠CAE=45°,求AD的長.
(2)如圖2,已知∠ACB=∠DCE=90°,∠ABC=∠CED=∠CAE=30°,AC=3,AE=8,求AD的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,CD垂直AB于D,P為BC上的任意一點(diǎn),過P點(diǎn)分別作PE⊥AB,PF⊥CA,垂足分別為E,F.
(1)若P為BC邊中點(diǎn),則PE,PF,CD三條線段有何數(shù)量關(guān)系(寫出推理過程)?
(2)若P為線段BC上任意一點(diǎn),則(1)中關(guān)系還成立嗎?
(3)若P為直線BC上任意一點(diǎn),則PE,PF,CD三條線段間有何數(shù)量關(guān)系(請直接寫出).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“端午節(jié)”是我國的傳統(tǒng)佳節(jié),民間歷來有吃“粽子”的習(xí)俗. 我市某食品廠為了解市民對去年銷量較好的肉餡粽、豆沙餡粽、紅棗餡粽、蛋黃餡粽(以下分別用A、B、C、D表示)這四種不同口味粽子的喜愛情況,在節(jié)前對某居民區(qū)市民進(jìn)行了抽樣調(diào)查,并將調(diào)查情況繪制成如下兩幅統(tǒng)計(jì)圖(尚不完整). 請根據(jù)以上信息回答:
(1)本次參加抽樣調(diào)查的居民有多少人?
(2)將兩幅不完整的圖補(bǔ)充完整;
(3)若居民區(qū)有8000人,請估計(jì)愛吃D粽的人數(shù);
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知:點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上,F(xiàn)B=CE,AC=DF.能否由上面的已知條件證明AB∥ED?如果能,請給出證明;如果不能,請從下列三個(gè)條件中選擇一個(gè)合適的條件,添加到已知條件中,使AB∥ED成立,并給出證明.
供選擇的三個(gè)條件(請從其中選擇一個(gè)):
①AB=ED;
②BC=EF;
③∠ACB=∠DFE.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在四張編號為A,B,C,D的卡片(除編號外,其余完全相同)的正面分別寫上如圖所示的正整數(shù)后,背面向上,洗勻放好.
(1)我們知道,滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)a,b,c成為勾股數(shù),嘉嘉從中隨機(jī)抽取一張,求抽到的卡片上的數(shù)是勾股數(shù)的概率P1;
(2)琪琪從中隨機(jī)抽取一張(不放回),再從剩下的卡片中隨機(jī)抽取一張(卡片用A,B,C,D表示).請用列表或畫樹形圖的方法求抽到的兩張卡片上的數(shù)都是勾股數(shù)的概率P2 , 并指出她與嘉嘉抽到勾股數(shù)的可能性一樣嗎?
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