Question

（本小題滿(mǎn)分１２分）如圖， 內(nèi)接于，的平分線(xiàn)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)，與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，連接是的中點(diǎn)，連結(jié)．

（1）判斷與的位置關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論并證明；
（2）求證：；
（3）若，求的面積．

Answer 1

（1）猜想：．
證明：如圖，連結(jié)OC、OD．
∵，G是CD的中點(diǎn)，
∴由等腰三角形的性質(zhì)，有．
（2）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°．
而∠CAE＝∠CBF（同弧所對(duì)的圓周角相等）．
在Rt△ACE和Rt△BCF中，
∵∠ACE=∠BCF＝90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，
∴Rt△ACE≌Rt△BCF （ASA）
∴． 
（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)O作BD的垂線(xiàn)，垂足為H．則H為BD的中點(diǎn)．
∴OH＝AD，即AD=2OH．
又∠CAD＝∠BADCD=BD，∴OH=OG．
在Rt△BDE和Rt△ADB中，
∵∠DBE＝∠DAC＝∠BAD，
∴Rt△BDE∽R(shí)t△ADB
∴，即
∴
又，∴．
∴                  … ①
設(shè)，則，AB=．
∵AD是∠BAC的平分線(xiàn)，
∴．
在Rt△ABD和Rt△AFD中，
∵∠ADB=∠ADF＝90°，AD=AD，∠FAD＝∠BAD，
∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．
∴AF=AB=，BD=FD．
∴CF=AF-AC=
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
     …②  
由①、②，得．
∴．解得或（舍去）．
∴
∴⊙O的半徑長(zhǎng)為．
∴ 

略