Question

【題目】如圖,直線y=2x+2與y軸交于A點(diǎn),與反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象交于點(diǎn)M,過M作MH⊥x軸于點(diǎn)H,且tan∠AHO=2.

(1)求k的值;

(2)在y軸上是否存在點(diǎn)B,使以點(diǎn)B、A、H、M為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形?如果存在,求出B點(diǎn)坐標(biāo);如果不存在,請說明理由;

(3)點(diǎn)N(a,1)是反比例函數(shù)y=(x>0)圖象上的點(diǎn),在x軸上有一點(diǎn)P,使得PM+PN最小,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1)4;(2)見解析.

【解析】分析：（1）對于y=2x+2，令x=0求出y的值，確定出A的坐標(biāo)，得到OA的長，根據(jù)tan∠AHO的值，利用銳角三角函數(shù)定義求出OH的長，根據(jù)MH垂直于x軸，確定出M橫坐標(biāo)，代入直線解析式求出縱坐標(biāo)，確定出M的坐標(biāo)，代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）存在，理由為：如圖所示，分兩種情況考慮：當(dāng)四邊形P1AHM為平行四邊形時(shí)；當(dāng)四邊形AP2HM為平行四邊形時(shí)，利用平行四邊形的性質(zhì)確定出P的坐標(biāo)即可；
（3）把M坐標(biāo)代入反比例解析式求出a的值，確定出N坐標(biāo)，過點(diǎn)N作N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)N1，連接MN1，交x軸于P，此時(shí)PM+PN最小，利用待定系數(shù)法確定出直線MN1的解析式，即可確定出P的坐標(biāo)．

詳解：(1)由y=2x+2可知A(0,2),即OA=2,

∵tan∠AHO=2,

∴OH=1.

∵MH⊥x軸,

∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1.

∵點(diǎn)M在直線y=2x+2上,

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4,∴M(1,4).

∵點(diǎn)M在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,

∴k=1×4=4.

(2)存在,如圖所示:

當(dāng)四邊形B1AHM為平行四邊形時(shí),B1A=MH=4,

∴B1A+AO=4+2=6,即B1(0,6).

當(dāng)四邊形AB2HM為平行四邊形時(shí),MH=AB2=4,

∴OB2=AB2-OA=4-2=2,此時(shí)B2(0,-2),

綜上,存在滿足條件的點(diǎn)B,且B點(diǎn)坐標(biāo)為(0,6)或(0,-2).　

(3)∵點(diǎn)N(a,1)在反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象上,

∴a=4,即點(diǎn)N的坐標(biāo)為(4,1).

過點(diǎn)N作N關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)N1,連接MN1,交x軸于P,此時(shí)PM+PN最小.

∵N與N1關(guān)于x軸對稱,N點(diǎn)坐標(biāo)為(4,1),

∴N1的坐標(biāo)為(4,-1).

設(shè)直線MN1的解析式為y=kx+b(k≠0),

由解得

∴直線MN1的解析式為y=-x+.

令y=0,得x=,

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為.