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        1. 如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點P為AC邊上的一點,將線段AP繞點A順時針方向旋轉(點P對應點P′),當AP旋轉至AP′⊥AB時,點B、P、P′恰好在同一直線上,此時作P′E⊥AC于點E.

          (1)求證:∠CBP=∠ABP;
          (2)求證:AE=CP;
          (3)當,BP′=時,求線段AB的長.
          解:(1)證明:∵AP′是AP旋轉得到,∴AP=AP′!唷螦PP′=∠AP′P。
          ∵∠C=90°,AP′⊥AB,∴∠CBP+∠BPC=90°,∠ABP+∠AP′P=90°。
          又∵∠BPC=∠APP′(對頂角相等)。∴∠CBP=∠ABP。
          (2)證明:如圖,過點P作PD⊥AB于D,

          ∵∠CBP=∠ABP,∠C=90°,∴CP=DP。
          ∵P′E⊥AC,∴∠EAP′+∠AP′E=90°。
          又∵∠PAD+∠EAP′=90°,
          ∴∠PAD=∠AP′E。
          在△APD和△P′AE中,
          ,
          ∴△APD≌△P′AE(AAS)!郃E=DP!郃E=CP。
          (3)∵,∴設CP=3k,PE=2k,則AE=CP=3k,AP′=AP=3k+2k=5k。
          在Rt△AEP′中,
          ∵∠C=90°,P′E⊥AC,∴∠CBP+∠BPC=90°,∠EP′P+∠P′PE=90°。
          ∵∠BPC=∠EPP′(對頂角相等),∴∠CBP=∠P′PE。
          又∵∠BAP′=∠P′EP=90°,∴△ABP′∽△EPP′。
          。即!。
          在Rt△ABP′中,,即。
          解得AB=10

          試題分析:(1)根據(jù)旋轉的性質可得AP=AP′,根據(jù)等邊對等角的性質可得∠APP′=∠AP′P,再根據(jù)等角的余角相等證明即可。
          (2)過點P作PD⊥AB于D,根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得CP=DP,然后求出∠PAD=∠AP′E,利用“角角邊”證明△APD和△P′AE全等,根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AE=DP,從而得證。
          (3)設CP=3k,PE=2k,表示出AE=CP=3k,AP′=AP=5k,然后利用勾股定理列式求出P′E=4k,再求出△ABP′和△EPP′相似,根據(jù)相似三角形對應邊成比例列式求出,然后在Rt△ABP′中,利用勾股定理列式求解即可。 
          練習冊系列答案
          相關習題

          科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,梯形ABCD是一個攔河壩的截面圖,壩高為6米.背水坡AD的坡角,為了提高河壩的抗洪能力,防汛指揮部決定加固河壩,若壩頂CD加寬0.8米,新的背水坡EF的坡度為1:1.4.河壩總長度為500米.

          (1)求完成該工程需要多少立方米方土?
          (2)某工程隊在加固600立方米土后,采用新的加固模式,這樣每天加固方數(shù)是原來的2倍,結果只用11天完成了大壩加固的任務.請你求出該工程隊原來每天加固多少立方米土?

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          科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          已知:如圖,△是等邊三角形,點、分別在邊、上,

          (1)求證:△∽△;(2)如果,求的長.

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          科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

          如下圖,n+1個腰長為2的等腰直角三角形斜邊在同一直線上,設△B2D1C1(陰影部分)的面積為S1,△B3D2C2的面積為S2,…,△Bn+1DnCn的面積為Sn,則S2=__________;Sn=__________.(用含n的式子表示).

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          科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:填空題

          已知兩條線段長分別為3和12,則它們的比例中項是    

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          科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,點B在線段AC上,點D,E在AC同側,∠A=∠C=90°,BD⊥BE,AD=BC.

          (1)求證:AC=AD+CE;
          (2)若AD=3,CE=5,點P為線段AB上的動點,連接DP,作PQ⊥DP,交直線BE于點Q;
          (i)當點P與A,B兩點不重合時,求的值;
          (ii)當點P從A點運動到AC的中點時,求線段DQ的中點所經(jīng)過的路徑(線段)長.(直接寫出結果,不必寫出解答過程)

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          科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          如圖1,△ABC為等腰直角三角形,∠ACB=90°,F(xiàn)是AC邊上的一個動點(點F與A、C不重合),以CF為一邊在等腰直角三角形外作正方形CDEF,連接BF、AD.

          (1)①猜想圖1中線段BF、AD的數(shù)量關系及所在直線的位置關系,直接寫出結論;
          ②將圖1中的正方形CDEF,繞著點C按順時針(或逆時針)方向旋轉任意角度α,得到如圖2、圖3的情形.圖2中BF交AC于點H,交AD于點O,請你判斷①中得到的結論是否仍然成立,并選取圖2證明你的判斷.
          (2)將原題中的等腰直角三角形ABC改為直角三角形ABC,∠ACB=90°,正方形CDEF改為矩形CDEF,如圖4,且AC=4,BC=3,CD=,CF=1,BF交AC于點H,交AD于點O,連接BD、AF,求BD2+AF2的值.

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          科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:解答題

          如圖,已知AB⊥BD,CD⊥BD

          (1)若AB=9,CD=4,BD=10,請問在BD上是否存在P點,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似?若存在,求BP的長;若不存在,請說明理由;
          (2)若AB=9,CD=4,BD=12,請問在BD上存在多少個P點,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似?并求BP的長;
          (3)若AB=9,CD=4,BD=15,請問在BD上存在多少個P點,使以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似?并求BP的長;
          (4)若AB=m,CD=n,BD=l,請問m,n,l滿足什么關系時,存在以P、A、B三點為頂點的三角形與以P、C、D三點為頂點的三角形相似的一個P點?兩個P點?三個P點?

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          科目:初中數(shù)學 來源:不詳 題型:單選題

          如圖,在△ABC中,若∠AED=∠B,DE=6,AB=10,AE=8,則BC的長為( 。
          A.B.7C.D.

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